三浦と窮理とブログ

主に物理学・数学について自分が勉強してきたことについて書いていきます.誰かの役に立ってくれれば嬉しいです.

1 次元自由粒子と調和振動子でのハイゼンベルク方程式

自由粒子系と調和振動子系において,ハイゼンベルク表示の位置演算子$ \hat{x}(t) $と運動量演算子$ \hat{p}(t) $の時間発展を求める.

1次元自由粒子

1次元の自由粒子の系を考える.ハミルトニアンはハイゼンベルク表示で$ \hat{H}(t) = \frac{\hat{p} ^ 2(t)}{2m} $である.位置演算子$ \hat{x}(t) $と運動量演算子$ \hat{p}(t) $のハイゼンベルク運動方程式は

\begin{align} \frac{d}{dt}\hat{x}(t) &= \frac{1}{m}\hat{p}(t) \label{eq:Hx}\\ \frac{d}{dt}\hat{p}(t) &= 0\label{eq:Hp} \end{align}

となる. ▶クリックで途中計算を開く

式\eqref{eq:Hp}より$ \hat{p}(t) = \hat{p}(0) $である.よって式\eqref{eq:Hx}より

\begin{align} \quad \hat{x}(t) = \frac{\hat{p}(0)}{m}t + \hat{x}(0) \end{align}

となる. また,

\begin{equation} [ \hat { x } ( t ) , \hat { x } ( t ') ] = i \frac { \hbar } { m } ( t ' - t ) \end{equation}

がなりたつ. ▶クリックで途中計算を開く

1次元調和振動子

次は1次元調和振動子の系を考える.ハミルトニアンはハイゼンベルク表示で$ \hat{H}(t) = \frac{\hat{p}^2(t)}{2m} + \frac { 1 } { 2 } m \omega ^ { 2 } \hat{x} ^ { 2 } (t)$である.$ \hat{x}(t) $と$ \hat{p}(t) $のハイゼンベルク運動方程式は,

\begin{align} \frac{d}{dt}\hat{x}(t) &= \frac{1}{m}\hat{p}(t) \label{eq:Hxos}\\ \frac{d}{dt}\hat{p}(t) &= -m\omega^2 \hat{x}(t) \label{eq:Hpos} \end{align}

である. ▶クリックで途中計算を開く

これらの一般解は

\begin{align} \hat { x } ( t ) &= \hat { A } e ^ { - i \omega t } + \hat { A } ^ { \dagger } e ^ { i \omega t } \\ \hat { p } ( t ) &= - i m \omega \left[ \hat { A } e ^ { - i \omega t } - \hat { A } ^ { \dagger } e ^ { i \omega t } \right] \label{eq:pos} \end{align}

である.$ \hat{ A } $は時間発展のしない任意の演算子. ▶クリックで途中計算を開く

また,$ \hat { A } = \sqrt { \frac { \hbar } { 2 m \omega } } \hat { a } $とすると,

\begin{equation} [ \hat { a } , \hat { a } ] = [ \hat { a } ^ { \dagger } , \hat { a } ^ { \dagger } ] = 0 , [ \hat { a } , \hat { a } ^ { \dagger } ] = 1 \end{equation}

が成り立つ. ▶クリックで途中計算を開く

この式を用いて,

\begin{align} [ \hat { x } ( t ) , \hat { x } ( t ') ] &= i \frac { \hbar } { m\omega } \sin \omega( t ' - t ) \\ \langle 0 | \hat { x } ( t ) \hat { x } \left( t ^ { \prime } \right) | 0 \rangle &= \frac { \hbar } {2 m\omega } e^{i\omega( t ' - t )} \end{align}

が求まる. ▶クリックで途中計算を開く

$ |0\rangle $は調和振動子の基底状態.$ \hat{ a }|0\rangle = 0 $.