自由粒子系と調和振動子系において，ハイゼンベルク表示の位置演算子$ \hat{x}(t) $と運動量演算子$ \hat{p}(t) $の時間発展を求める．
1次元自由粒子
1次元の自由粒子の系を考える．ハミルトニアンはハイゼンベルク表示で$ \hat{H}(t) = \frac{\hat{p} ^ 2(t)}{2m} $である．位置演算子$ \hat{x}(t) $と運動量演算子$ \hat{p}(t) $のハイゼンベルク運動方程式は
\begin{align}
\frac{d}{dt}\hat{x}(t) &= \frac{1}{m}\hat{p}(t) \label{eq:Hx}\\
\frac{d}{dt}\hat{p}(t) &= 0\label{eq:Hp}
\end{align}
となる．
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\begin{align}
i\hbar \frac{d}{dt}\hat{x}(t) &= [\hat{x}(t),\hat{H}(t)] = \frac{1}{2m}\underbrace{[\hat{x}(t),\hat{p}^2(t)]}_{=2i\hbar \hat{p}(t)} = \frac{i\hbar}{m}\hat{p}(t) \\
i\hbar \frac{d}{dt}\hat{p}(t) &= [\hat{p}(t),\hat{H}(t)] = 0
\end{align}
次の記事にある公式を用いた．
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式\eqref{eq:Hp}より$ \hat{p}(t) = \hat{p}(0) $である．よって式\eqref{eq:Hx}より
\begin{align}
\quad \hat{x}(t) = \frac{\hat{p}(0)}{m}t + \hat{x}(0)
\end{align}
となる．
また，
\begin{equation}
[ \hat { x } ( t ) , \hat { x } ( t ') ] = i \frac { \hbar } { m } ( t ' - t )
\end{equation}
がなりたつ．
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$ [ \hat { x } ( 0 ) , \hat { p } ( 0 ) ] = i \hbar $を用いて，
\begin{align}
[ \hat { x } ( t ) , \hat { x } ( t ') ] &=
[\frac{\hat{p}(0)}{m}t + \hat{x}(0),\frac{\hat{p}(0)}{m}t' + \hat{x}(0) ]
=[\frac{\hat{p}(0)}{m}t,\hat{x}(0)] + [\hat{x}(0),\frac{\hat{p}(0)}{m}t']
=i \frac { \hbar } { m } ( t ' - t )
\end{align}
1次元調和振動子
次は1次元調和振動子の系を考える．ハミルトニアンはハイゼンベルク表示で$ \hat{H}(t) = \frac{\hat{p}^2(t)}{2m} + \frac { 1 } { 2 } m \omega ^ { 2 } \hat{x} ^ { 2 } (t)$である．$ \hat{x}(t) $と$ \hat{p}(t) $のハイゼンベルク運動方程式は，
\begin{align}
\frac{d}{dt}\hat{x}(t) &= \frac{1}{m}\hat{p}(t) \label{eq:Hxos}\\
\frac{d}{dt}\hat{p}(t) &= -m\omega^2 \hat{x}(t) \label{eq:Hpos}
\end{align}
である．
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\begin{equation}
i\hbar \frac{d}{dt}\hat{p}(t) = [\hat{p}(t),\hat{H}(t)]
= [\hat{p}(t),\frac { 1 } { 2 } m \omega ^ { 2 } \hat{x} ^ { 2 }]
= \frac { 1 } { 2 } m \omega ^ { 2 } \underbrace{[\hat{p}(t),\hat{x} ^ { 2 } (t)]}_{=-2i\hbar \hat{ x } (t)}
= -i\hbar m\omega^2 \hat{x}
\end{equation}
これらの一般解は
\begin{align}
\hat { x } ( t ) &= \hat { A } e ^ { - i \omega t } + \hat { A } ^ { \dagger } e ^ { i \omega t } \\
\hat { p } ( t ) &= - i m \omega \left[ \hat { A } e ^ { - i \omega t } - \hat { A } ^ { \dagger } e ^ { i \omega t } \right] \label{eq:pos}
\end{align}
である．$ \hat{ A } $は時間発展のしない任意の演算子．
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式\eqref{eq:Hxos}の両辺を時間微分すると，
\begin{equation}
\frac{d^2}{dt^2}\hat{x}(t) = \frac{1}{m}\underbrace{\frac{d}{dt}\hat{p}(t)}_{\rlap{=-m\omega^2 \hat{x}(t)}}
= -\omega^2 \hat{x}(t)．
\end{equation}
この一般解は$ \hat { x } ( t ) = \hat { A } e ^ { - i \omega t } + \hat { B } e ^ { i \omega t } $である．
$ \hat { x } ( t ) $はエルミート演算子なので$ \hat { x } ( t ) = \hat { x } ^ \dagger ( t ) = \hat { A } ^ \dagger e ^ { i \omega t } + \hat { B } ^ \dagger e ^ {- i \omega t }$であり，$ \hat{ B} = \hat{ A }^\dagger $である．
よって式\eqref{eq:Hxos}より式\eqref{eq:pos}が成り立つ．
また，$ \hat { A } = \sqrt { \frac { \hbar } { 2 m \omega } } \hat { a } $とすると，
\begin{equation}
[ \hat { a } , \hat { a } ] = [ \hat { a } ^ { \dagger } , \hat { a } ^ { \dagger } ] = 0 , [ \hat { a } , \hat { a } ^ { \dagger } ] = 1
\end{equation}
が成り立つ．
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\begin{align}
i\hbar &= [\hat{x} , \hat{p}] = - i m \omega [\hat { A } e ^ { - i \omega t } + \hat { A } ^ { \dagger } e ^ { i \omega t }, \hat { A } e ^ { - i \omega t } - \hat { A } ^ { \dagger } e ^ { i \omega t } ]
= - i m \omega \{-\underbrace{[\hat { A } e ^ { - i \omega t }, \hat { A } ^ { \dagger } e ^ { i \omega t }]}_{=[\hat{ A },\hat{ A }^\dagger]}+\underbrace{[ \hat { A } ^ { \dagger } e ^ { i \omega t },\hat { A } e ^ { - i \omega t }]}_{=-[\hat{ A },\hat{ A }^\dagger]} \} \\
&= 2im\omega \frac{\hbar}{2m\omega} [ \hat { a } , \hat { a } ^ { \dagger } ]
= i\hbar [ \hat { a } , \hat { a } ^ { \dagger } ]
\end{align}
この式を用いて，
\begin{align}
[ \hat { x } ( t ) , \hat { x } ( t ') ] &= i \frac { \hbar } { m\omega } \sin \omega( t ' - t ) \\
\langle 0 | \hat { x } ( t ) \hat { x } \left( t ^ { \prime } \right) | 0 \rangle
&= \frac { \hbar } {2 m\omega } e^{i\omega( t ' - t )}
\end{align}
が求まる．
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$ \hat { x } ( t ) = \sqrt { \frac { \hbar } { 2 m \omega } } [\hat { a } e ^ { - i \omega t } + \hat { a } ^ { \dagger } e ^ { i \omega t }] $である．
\begin{align}
[ \hat { x } ( t ) , \hat { x } ( t ') ] &=
\frac { \hbar } { 2 m \omega } [\hat { a } e ^ { - i \omega t } + \hat { a } ^ { \dagger } e ^ { i \omega t },\hat { a } e ^ { - i \omega t' } + \hat { a } ^ { \dagger } e ^ { i \omega t' }]
= \frac { \hbar } { 2 m \omega } \{\underbrace{[\hat { a } e ^ { - i \omega t },\hat { a } ^ { \dagger } e ^ { i \omega t'}]}_{=e^{i\omega(t'-t)}} + \underbrace{[\hat { a } ^ { \dagger } e ^ { i \omega t }, \hat { a } e ^ { - i \omega t' } ]}_{=-e^{-i\omega(t'-t)}} \} \\
&= i \frac { \hbar } { m\omega } \sin \omega( t ' - t )
\end{align}
$ |0\rangle $は調和振動子の基底状態．$ \hat{ a }|0\rangle = 0 $．
