気体の状態方程式を $ f(p,T,V)=0 $ とする．関数 $ f $ を $ p,T,V $ で微分して得られる導関数をそれぞれ $ f _ p,f _ T,f _ V $ とする．

\begin{equation} 0=df = f _ p dp + f _ T dT + f _ V dV \label{eq:netu3} \end{equation}

と表される．

これらを用いると

\begin{alignat}{2} &等温圧縮率 \quad& \kappa _ T &=-\frac{1}{V}\left ( \frac{\partial V}{\partial p} \right ) _ T = \frac{1}{V} \frac{f _ p}{f _ V} \\ &等温体積弾性率 \quad& k _ T &= - V \left ( \frac{\partial p}{\partial V} \right ) _ T = V \frac{f _ V}{f _ p} = \frac{1}{\kappa _ T} \\ &体膨張率 \quad& \alpha &= \frac{1}{V}\left ( \frac{\partial V}{\partial T} \right ) _ p = - \frac{1}{V} \frac{f _ T}{f _ V} \\ &熱圧力係数 \quad& \beta &= \left ( \frac{\partial p}{\partial T} \right ) _ V =- \frac{f _ T}{f _ p} = \frac{\alpha}{k _ T} \end{alignat}

が得られる．

導出

等温過程では $ dT=0 $ より式\eqref{eq:netu3}から

\begin{align} \left ( \frac{\partial V}{\partial p} \right ) _ T &= - \frac{f _ p}{f _ V} \\ \left ( \frac{\partial p}{\partial V} \right ) _ T &=- \frac{f _ V}{f _ p} \end{align}

が成り立つ．

等圧過程では $ dp=0 $ より式\eqref{eq:netu3}から

\begin{equation} \left ( \frac{\partial V}{\partial T} \right ) _ p = - \frac{f _ T}{f _ V} \end{equation}

が成り立つ．

定積過程では $ dV=0 $ より式\eqref{eq:netu3}から

\begin{equation} \left ( \frac{\partial p}{\partial T} \right ) _ V =- \frac{f _ T}{f _ p} \end{equation}

が成り立つ．

参考