三浦と窮理とブログ

主に自然科学について自分が勉強してきたことについて書いていきます.誰かの役に立ってくれれば嬉しいです.

3次元定常シュレーディンガー方程式の変数分離

ポテンシャルが V( x1 , x2 , x3 ) = V1( x1 ) + V2( x2 ) + V3( x3 ) の形であるとき,時間に依存しないシュレディンガー方程式は次のように各座標成分について分離できる.

\begin{align} &\psi ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } ) = \psi _ { 1 } ( x _ { 1 } ) \psi _ { 2 } ( x _ { 2 } ) \psi _ { 3 } ( x _ { 3 } ) \\ &\frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m } \frac { d ^ { 2 } \psi _ { j } ( x _ { j } ) } { d x _ { j } ^ { 2 } } + ( E _ { j } - V _ { j } ( x _ { j } ) ) \psi _ { j }( x _ { j } ) = 0 \quad ( j = 1,2,3 ) \label{eq:bunri} \end{align}

導出

ハミルトニアンは$ \hat { H } = \frac { \hat{p} ^ 2 } { 2 m } + V(\hat{x} _ { 1 } ,\hat{x} _ { 2 } , \hat{x} _ { 3 }) $.

時間に依存しないシュレディンガー方程式は,固有値を E として,

\begin{align} \left (-\frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m } \Delta + V ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } ) \right ) \psi ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } ) = E \psi ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } ) \\ \Delta = \frac{\partial^2}{{\partial x_1} ^2} + \frac{\partial^2}{{\partial x_2} ^2} + \frac{\partial^2}{{\partial x_3 }^2} \end{align}

である.よって

\begin{align} \left (-\frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m } \Delta + V _ { 1 } ( x _ { 1 } ) + V _ { 2 } ( x _ { 2 } ) + V _ { 3 } ( x _ { 3 } ) \right ) \psi _ { 1 } ( x _ { 1 } ) \psi _ { 2 } ( x _ { 2 } ) \psi _ { 3 } ( x _ { 3 } ) &= E \psi _ { 1 } ( x _ { 1 } ) \psi _ { 2 } ( x _ { 2 } ) \psi _ { 3 } ( x _ { 3 } ) \\ -\frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m } \left (\psi _ { 2 } \psi _ { 3 } \frac{\partial^2 \psi _ { 1 }}{{\partial x_1} ^2} +\psi _ { 1 } \psi _ { 3 } \frac{\partial^2 \psi _ { 2 }}{{\partial x_2} ^2} + \psi _ { 1 } \psi _ { 2 } \frac{\partial^2 \psi _ { 3 }}{{\partial x_3} ^2} \right ) +(V_1+V_2+V_3) \psi _ { 1 } \psi _ { 2 } \psi_3 &= E \psi _ { 1 } \psi _ { 2 } \psi_3 \end{align}

両辺を ψ1ψ2ψ3 で割ると,

\begin{align} -\frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m } \left (\frac{1}{\psi_1} \frac{\partial^2 \psi _ { 1 }}{{\partial x_1} ^2} +\frac{1}{\psi_2} \frac{\partial^2 \psi _ { 2 }}{{\partial x_2} ^2} + \frac{1}{\psi_3} \frac{\partial^2 \psi _ { 3 }}{{\partial x_3} ^2} \right ) +V_1+V_2+V_3 &= E \\ \underbrace{\left ( -\frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m }\frac{1}{\psi_1} \frac{\partial^2 \psi _ { 1 }}{{\partial x_1} ^2} +V_1\right )}_{x_1 の関数} + \underbrace{\left (-\frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m }\frac{1}{\psi_2} \frac{\partial^2 \psi _ { 2 }}{{\partial x_2} ^2} +V_2 \right )}_{x_2 の関数} +\underbrace{\left ( -\frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m }\frac{1}{\psi_3} \frac{\partial^2 \psi _ { 3 }}{{\partial x_3} ^2} V_3 \right ) }_{x_3 の関数} &= E \end{align}

この式が任意の ( x1 , x2 , x3 ) について成り立つにはそれぞれの変数についての関数が定数でないといけない. ▶クリックで詳細を開く

つまり

\begin{align} -\frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m } \frac { d ^ { 2 } \psi _ { j } ( x _ { j } ) } { d x _ { j } ^ { 2 } } + V _ { j } ( x _ { j } ) \psi _ { j }( x _ { j } ) = E _ { j } &\quad ( j = 1,2,3 ) \\ E_1+E_2+E_3 =E& \end{align}

と表される.