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三浦と窮理とブログ--1 次元調和振動子の位置と運動量の行列要素の計算 - k-pmpstudy - BOOTH（同人誌通販・ダウンロード）

1次元調和振動子の波動関数はエルミート多項式を用いて $ \psi_n(\xi) = A_n H_n (\xi) e^{-\xi^2/2} $ と表せる．ここで，$ \xi =\sqrt{m\omega/\hbar} x $，$ A_n = \frac{1}{\sqrt{2^n n!}} \left (\frac{m\omega}{\pi\hbar}\right )^{1/4}$ とする．*1

1次元調和振動子の量子数 n,l = 0,1,2,... に対し，位置演算子 $ \hat{x} $ と $ \hat{x}^2 $，運動量演算子 $ \hat{p} $ と $ \hat{p}^2 $ の行列要素は以下のようになる．

\begin{align} \langle n | \hat{x} | l \rangle &= \sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}(l+1)} \delta_{n,l+1} + \sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}l} \delta_{n,l-1} =\begin{cases} \sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}(l+1)} & (n=l+1) \\ \sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}l} & (n=l-1) \\ 0 & (n \ne l\pm1) \end{cases}\\ \langle n | \hat{x}^2 | l \rangle &= \frac{\hbar}{2m\omega}(2l+1) \delta_{n,l} + \frac{\hbar}{2m\omega} \sqrt{(l+2)(l+1)} \delta_{n,l+2} + \frac{\hbar}{2m\omega} \sqrt{l(l-1)} \delta_{n,l-2}\\ &=\begin{cases} \frac{\hbar}{2m\omega}(2l+1) & (n=l) \\ \frac{\hbar}{2m\omega} \sqrt{(l+2)(l+1)} & (n=l+2) \\ \frac{\hbar}{2m\omega} \sqrt{l(l-1)} & (n=l-2) \\ 0 & (n \ne l , l\pm 2) \\ \end{cases}\\ \langle n | \hat{p} | l \rangle &= i\sqrt{\frac{\hbar m\omega}{2}(l+1)} \delta_{n,l+1} -i\sqrt{\frac{\hbar m\omega}{2}l} \delta_{n,l-1} =\begin{cases} i\sqrt{\frac{\hbar m\omega}{2}(l+1)} & (n=l+1) \\ -i\sqrt{\frac{\hbar m\omega}{2}l} & (n=l-1) \\ 0 & (n \ne l\pm 1) \\ \end{cases}\\ \langle n | \hat{p}^2 | l \rangle &= \frac{\hbar m\omega}{2 }(2l+1)\delta_{n,l} -\frac{\hbar m\omega}{2} \sqrt{(l+2)(l+1)} \delta_{n,l+2} -\frac{\hbar m\omega}{2} \sqrt{l(l-1)} \delta_{n,l-2} \\ &=\begin{cases} \frac{\hbar m\omega}{2 }(2l+1) & (n=l) \\ -\frac{\hbar m\omega}{2} \sqrt{(l+2)(l+1)} & (n=l+2) \\ -\frac{\hbar m\omega}{2} \sqrt{l(l-1)} & (n=l-2) \\ 0 & (n \ne l , l\pm 2) \\ \end{cases} \end{align}

これらの導出をしよう．

行列表示

せっかく行列要素を求めたので実際に行列の形で表すと，

\begin{align} \langle n | \hat{x} | l \rangle &= \sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}} \begin{pmatrix} 0& 1 & 0 & 0 & \cdots\\ 1& 0 & \sqrt{2} &0 & \cdots\\ 0& \sqrt{2} & 0 & \sqrt{3} & \cdots\\ 0& 0 & \sqrt{3} & 0 & \cdots\\ \vdots& \vdots & \vdots & \vdots &\ddots \end{pmatrix} ~,~ \langle n | \hat{x}^2 | l \rangle = \frac{\hbar}{2m \omega} \begin{pmatrix} 1& 0 & \sqrt{2} & 0 & \cdots \\ 0& 3 & 0 & \sqrt{6} &\cdots\\ \sqrt{2}& 0 & 5 & 0& \cdots\\ 0& \sqrt{6} & 0& 7 & \cdots\\ \vdots& \vdots & \vdots & \vdots &\ddots \end{pmatrix} \\ \langle n | \hat{p} | l \rangle &= i\sqrt{\frac{\hbar m\omega}{2}} \begin{pmatrix} 0& -1 & 0 & 0 & \cdots\\ 1& 0 & -\sqrt{2} &0 & \cdots\\ 0& \sqrt{2} & 0 & -\sqrt{3} & \cdots\\ 0& 0 & \sqrt{3} & 0 & \cdots\\ \vdots& \vdots & \vdots & \vdots &\ddots \end{pmatrix} ~,~ \langle n | \hat{p}^2 | l \rangle = \frac{\hbar m\omega}{2 } \begin{pmatrix} 1& 0 & -\sqrt{2} & 0 & \cdots \\ 0& 3 & 0 & -\sqrt{6} &\cdots\\ -\sqrt{2}& 0 & 5 & 0& \cdots\\ 0& -\sqrt{6} & 0& 7 & \cdots\\ \vdots& \vdots & \vdots & \vdots &\ddots \end{pmatrix} \end{align}

のようになる．

途中計算

エルミート多項式の直交性

\begin{equation} \int_{-\infty}^{\infty} H_n(\xi)H_l(\xi)e^{-\xi^2} d\xi = 2^n n! \sqrt{\pi} \delta_{n,l} = \begin{cases} 2^n n! \sqrt{\pi} & (n=l) \\ 0 & (n\ne l) \end{cases} \end{equation}

を用いて計算をする．

\begin{align} \langle n | \hat{x} | l \rangle &= A_n A_l \int_{-\infty}^{\infty} H_n(\xi) x H_l(\xi) e^{-\xi^2} dx = A_n A_l \frac{\hbar}{m\omega}\int_{-\infty}^{\infty} H_n(\xi) \xi H_l(\xi) e^{-\xi^2} d\xi \\ &= A_n A_l \frac{\hbar}{m\omega}\int_{-\infty}^{\infty} H_n(\xi) \frac{1}{2} (H_{l+1}(\xi) + 2l H_{l-1}(\xi)) e^{-\xi^2} d\xi \\ &= A_n A_l \frac{\hbar}{2m\omega}\int_{-\infty}^{\infty}( H_n(\xi)H_{l+1}(\xi) + 2l H_n(\xi) H_{l-1}(\xi)) e^{-\xi^2} d\xi \end{align}

n = l+1 のとき，

\begin{align} \langle l+1 | \hat{x} | l \rangle &= A_{l+1} A_l \frac{\hbar}{2m\omega} 2^{l+1} (l+1)! \sqrt{\pi} \\ &= \frac{1}{\sqrt{2^{l+1} (l+1)!}} \left (\frac{m\omega}{\pi\hbar}\right )^{1/4} \frac{1}{\sqrt{2^l l!}} \left (\frac{m\omega}{\pi\hbar}\right )^{1/4} \frac{\hbar}{2m\omega} 2^{l+1} (l+1)! \sqrt{\pi} \\ % &= \frac{1}{2^l l!}\frac{1}{\sqrt{2(l+1)}}\sqrt{\frac{m\omega}{\pi\hbar}} \frac{\hbar}{m\omega} 2^l (l+1)! \sqrt{\pi} \\ &= \sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}(l+1)} \end{align}

n = l-1 のとき，

\begin{align} \langle l-1 | \hat{x} | l \rangle &= A_{l-1} A_l \frac{\hbar}{2m\omega} 2l 2^{l-1} (l-1)! \sqrt{\pi} \\ &= \frac{1}{\sqrt{2^{l-1} (l-1)!}} \left (\frac{m\omega}{\pi\hbar}\right )^{1/4} \frac{1}{\sqrt{2^l l!}} \left (\frac{m\omega}{\pi\hbar}\right )^{1/4} \frac{\hbar}{m\omega} 2^{l-1} l! \sqrt{\pi} \\ % &= \frac{\sqrt{2l}}{2^l l!} \sqrt{\frac{m\omega}{\pi\hbar}} \frac{\hbar}{m\omega} 2^{l-1} l! \sqrt{\pi} \\ &= \sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}l} \end{align}

n ≠ l ± 1 のとき，

\begin{equation} \langle n | \hat{x} | l \rangle = 0 \end{equation}

次に，

\begin{align} \langle n | \hat{x}^2 | l \rangle &= A_n A_l \int_{-\infty}^{\infty} H_n(\xi) x^2 H_l(\xi) e^{-\xi^2} dx = A_n A_l \left (\frac{\hbar}{m\omega}\right )^{3/2} \int_{-\infty}^{\infty} H_n(\xi) \xi^2 H_l(\xi) e^{-\xi^2} d\xi \end{align}

ここで，

\begin{align} \xi^2 H_l(\xi) &= \xi \frac{1}{2} (H_{l+1}(\xi) + 2l H_{l-1}(\xi)) =\frac{1}{4}[H_{l+2}(\xi) + 2(l+1) H_l(\xi) + 2l (H_l (\xi) + 2(l-1) H_{l-2}(\xi)) ] \\ &= \frac{1}{4}(H_{l+2}(\xi) + 2(2l+1) H_l(\xi) + 4l(l-1)H_{l-2}(\xi)) \end{align}

なので，

\begin{align} \langle n | \hat{x}^2 | l \rangle &= A_n A_l \left (\frac{\hbar}{m\omega}\right )^{3/2} \frac{1}{4}\int_{-\infty}^{\infty} [H_n(\xi)H_{l+2}(\xi) + 2(2l+1) H_n(\xi) H_l(\xi) + 4l(l-1) H_n(\xi) H_{l-2}(\xi)] e^{-\xi^2} d\xi \end{align}

n = lのとき，

\begin{align} \langle m | \hat{x}^2 | l \rangle &= A_l^2 \left (\frac{\hbar}{m\omega}\right )^{3/2} \frac{1}{4} 2(2l+1) 2^l l! \sqrt{\pi} = \frac{1}{2^l l!} \sqrt{\frac{m\omega}{\pi\hbar}} \left (\frac{\hbar}{m\omega}\right )^{3/2} \frac{1}{2} (2l+1) 2^l l! \sqrt{\pi} \\ &= \frac{\hbar}{2m\omega}(2l+1) \end{align}

n = l + 2 のとき，

\begin{align} \langle l+2 | \hat{x}^2 | l \rangle &= A_{l+2} A_l \left (\frac{\hbar}{m\omega}\right )^{3/2} \frac{1}{4} 2^{l+2} (l+2)! \sqrt{\pi} \\ &= \frac{1}{\sqrt{2^{l+2} (l+2)!}} \left (\frac{m\omega}{\pi\hbar}\right )^{1/4} \frac{1}{\sqrt{2^l l!}} \left (\frac{m\omega}{\pi\hbar}\right )^{1/4} \left (\frac{\hbar}{m\omega}\right )^{3/2} 2^l (l+2)! \sqrt{\pi} \\ % &= \frac{1}{2^l l!} \frac{1}{2\sqrt{(l+2)(l+1)}} \sqrt{\frac{m\omega}{\pi\hbar}} \left (\frac{\hbar}{m\omega}\right )^{3/2} 2^l (l+2)! \sqrt{\pi} \\ &= \frac{\hbar}{2m\omega} \sqrt{(l+2)(l+1)} \end{align}

n = l - 2 のとき，

\begin{align} \langle l-2 | \hat{x}^2 | l \rangle &= A_{l-2} A_l \left (\frac{\hbar}{m\omega}\right )^{3/2} \frac{1}{4} 4l(l-1) 2^{l-2} (l-2)! \sqrt{\pi} \\ &= \frac{1}{\sqrt{2^{l-2} (l-2)!}} \left (\frac{m\omega}{\pi\hbar}\right )^{1/4} \frac{1}{\sqrt{2^l l!}} \left (\frac{m\omega}{\pi\hbar}\right )^{1/4} \left (\frac{\hbar}{m\omega}\right )^{3/2} 2^{l-2} l! \sqrt{\pi} \\ % &= \frac{2\sqrt{l(l-1)}}{2^l l!} \sqrt{\frac{m\omega}{\pi\hbar}} \left (\frac{\hbar}{m\omega}\right )^{3/2} 2^{l-2} l! \sqrt{\pi} \\ &= \frac{\hbar}{2m\omega} \sqrt{l(l-1)} \end{align}

n ≠ m , m ± 2 のとき，

\begin{equation} \langle n | \hat{x}^2 | l \rangle = 0 \end{equation}

次に，

\begin{align} \langle n | \hat{p} | l \rangle &= A_n A_l \int_{-\infty}^{\infty} H_n(\xi) e^{-\xi^2/2} \left( -i\hbar \frac{\partial}{\partial x}\right) (H_l(\xi) e^{-\xi^2/2}) dx \\ &= -i\hbar A_n A_l \int_{-\infty}^{\infty} H_n(\xi) e^{-\xi^2/2} \frac{\partial}{\partial \xi} (H_l(\xi) e^{-\xi^2/2}) d\xi \\ &= -i\hbar A_n A_l \int_{-\infty}^{\infty} H_n(\xi) e^{-\xi^2/2} (H'_l(\xi) - \xi H_l (\xi) )e^{-\xi^2/2} d\xi \\ &= -i\hbar A_n A_l \int_{-\infty}^{\infty} H_n(\xi) e^{-\xi^2} \{2l H_{l-1}(\xi) - \frac{1}{2}(H_{l+1}(\xi) + 2l H_{l-1}(\xi)) \} d\xi \\ &= -i\hbar A_n A_l \int_{-\infty}^{\infty} \{- \frac{1}{2}H_n(\xi) H_{l+1}(\xi) + l H_n(\xi) H_{l-1}(\xi) \} e^{-\xi^2} d\xi \\ \end{align}

n = l+1 のとき，

\begin{align} \langle l+1 | \hat{p} | l \rangle = -i\hbar A_{l+1} A_l (- \frac{1}{2} 2^{l+1} (l+1)! \sqrt{\pi}) % &= i\hbar \frac{1}{2^l l!} \frac{1}{\sqrt{2(l+1)}} \sqrt{\frac{m \omega}{\pi\hbar}} 2^l (l+1)! \sqrt{\pi} \\ = i\sqrt{\frac{\hbar m\omega}{2}(l+1)} \end{align}

n = l-1 のとき，

\begin{align} \langle l-1 | \hat{p} | l \rangle = -i\hbar A_{l-1} A_l l 2^{l-1} (l-1)! \sqrt{\pi} % &= - i\hbar \frac{\sqrt{2l}}{2^l l!} \sqrt{\frac{m \omega}{\pi\hbar}} 2^{l-1} l! \sqrt{\pi} \\ = -i\sqrt{\frac{\hbar m\omega}{2}l} \end{align}

n ≠ l ± 1 のとき，

\begin{equation} \langle n | \hat{p} | l \rangle = 0 \end{equation}

最後に，

\begin{align} \langle n | \hat{p}^2 | l \rangle &= A_n A_l \int_{-\infty}^{\infty} H_n(\xi) e^{-\xi^2/2} \left( -i\hbar \frac{\partial}{\partial x}\right)^2 (H_l(\xi) e^{-\xi^2/2}) dx \\ &= -\hbar^2 A_n A_l \sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}\int_{-\infty}^{\infty} H_n(\xi) e^{-\xi^2/2} \frac{\partial^2}{\partial \xi^2} (H_l(\xi) e^{-\xi^2/2}) d\xi \\ &= -\hbar^2 A_n A_l \sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}} \int_{-\infty}^{\infty} H_n(\xi) e^{-\xi^2/2} \{ \textcolor{blue}{\underline{\textcolor{black}{H''_l(\xi) -2\xi H'_l(\xi)}}} + \textcolor{red}{\underline{\textcolor{black}{(\xi^2 -1) H_l(\xi)}}} \}e^{-\xi^2/2} d\xi \\ %&= -\hbar^2 A_n A_l \sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}} \int_{-\infty}^{\infty} H_n(\xi) e^{-\xi^2} \{\textcolor{blue}{\underline{\textcolor{black}{-2lH_l(\xi)}}} + \xi \frac{1}{2}(H_{l+1}(\xi) + 2l H_{l-1}(\xi)) -H_l(\xi) \} d\xi \\ &= -\hbar^2 A_n A_l \sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}} \int_{-\infty}^{\infty} H_n(\xi) e^{-\xi^2} \{\textcolor{blue}{\underline{\textcolor{black}{-2lH_l(\xi)}}} + \textcolor{red}{\underline{\textcolor{black}{\frac{1}{4} (H_{l+2}(\xi) + 2(2l+1)H_l(\xi)}}} \\ & \qquad\qquad\textcolor{red}{\underline{\textcolor{black}{+ 4l(l-1)H_{l-2}(\xi) ) -H_l(\xi)}}} \} d\xi \\ &= -\hbar^2 A_n A_l \sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}} \int_{-\infty}^{\infty} H_n(\xi) e^{-\xi^2} \{\frac{1}{4} H_{l+2} (\xi) -\frac{1}{2}(2l+1) H_l(\xi) + l(l-1)H_{l-2}(\xi) \} d\xi \end{align}

n = l のとき，

\begin{align} \langle m | \hat{p}^2 | l \rangle = \hbar^2 A_l^2 \sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}} \frac{1}{2}(2l+1) 2^l l! \sqrt{\pi} % =\hbar^2 \frac{1}{2^l l!} \sqrt{\frac{m\omega}{\pi\hbar}} \sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}} \frac{1}{2}(2l+1) 2^l l! \sqrt{\pi} \\ = \frac{\hbar m\omega}{2 }(2l+1) \end{align}

n = l + 2 のとき，

\begin{align} \langle l+2 | \hat{p}^2 | l \rangle = -\hbar^2 A_{l+2} A_l \sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}} \frac{1}{4} 2^{l+2} (l+2)! \sqrt{\pi} % = - \frac{\hbar^2}{2^l l!} \frac{1}{2\sqrt{(l+2)(l+1)}} \sqrt{\frac{m\omega}{\pi\hbar}} \sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}} 2^l (l+2)! \sqrt{\pi} \\ = -\frac{\hbar m\omega}{2} \sqrt{(l+2)(l+1)} \end{align}

n = l - 2 のとき，

\begin{align} \langle l-2 | \hat{p}^2 | l \rangle = -\hbar^2 A_{l-2} A_l \sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}} l(l-1) 2^{l-2} (l-2)! \sqrt{\pi} % &= \hbar^2 \frac{2\sqrt{l(l-1)}}{2^l l!} \sqrt{\frac{m\omega}{\pi\hbar}} \sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}} 2^{l-2} l! \sqrt{\pi} \\ = -\frac{\hbar m\omega}{2} \sqrt{l(l-1)} \end{align}

n ≠ l , l ± 2 のとき，

\begin{equation} \langle n | \hat{p}^2 | l \rangle = 0 \end{equation}

参考文献