三浦と窮理とブログ

主に物理学・数学について自分が勉強してきたことについて書いていきます.誰かの役に立ってくれれば嬉しいです.

直方体に閉じ込められた粒子の波動関数と縮退度

粒子が透過できない壁を持つ3辺の長さが x=a , y=b , z=c の直方体の箱に閉じ込められた質量 m の粒子を考える.

ポテンシャルは

\begin{align} V(\boldsymbol{x}) &= V(x) + V(y) + V(z) \\ V(x) &= \begin{cases}0&(0\le x \le a)\\\infty &(a \le x)\end{cases} ~, \quad V(y) = \begin{cases}0&(0\le y \le b)\\\infty &(b \le y)\end{cases} ~, \quad V(z) = \begin{cases}0&(0\le z \le c)\\\infty &(c \le z)\end{cases} \end{align}

と表される.よって各座標成分に変数分離したシュレディンガー方程式

\begin{equation} \left( -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{{dx_i}^2} + V(x _ i) \right) \psi_i(x_i) = E_i \psi_i (x_i) \qquad(i=1,2,3) \end{equation}

を解くことで,この系の固有関数 $ \psi(\boldsymbol{x}) = \psi _ 1(x)\psi _ 2(y)\psi _ 3(z)$ とエネルギー固有値 E = E1 + E2 + E3

\begin{align} \psi_{n_x, n_y,n_z}(\boldsymbol{x}) &= A \sin\left (\frac{ n_x\pi}{a} x \right )\sin\left (\frac{ n_y\pi}{b} y \right )\sin\left (\frac{ n_z\pi}{c} z \right ) \\ E_{n_x, n_y,n_z}&= \frac{\hbar^2 \pi^2}{2m} ( \left (\frac{n_x}{a} \right )^2 +\left (\frac{n_y}{b} \right )^2+\left (\frac{n_z}{c} \right )^2 ) \\ n_i &\in \mathbb{N} \end{align}

と求まる. $ A = \sqrt{\frac{2 ^ 3}{abc}} $ . 参考*1

また,a = b = c のとき

\begin{equation} E_{n_x, n_y,n_z} = \frac{\hbar^2 \pi^2}{2ma^2} ( {n_x}^2 +{n_y}^2 + {n_z}^2 ) \end{equation}

である.このとき,ある2つの状態に対して,量子数 (nx , ny , nz) が異なる独立な固有状態であるが,エネルギー固有値が等しくなる場合がある. ▶クリックで例を開く

このような性質を二つの固有状態が縮退しているという.

以下に基底状態から第4励起状態までと第n励起状態の縮退度を示す.

励起状態 (nx , ny , nz) 縮退度
基底 (1,1,1) 1
第1励起 (2,1,1),(1,2,1),(1,1,2) 3
第2励起 (3,1,1),(1,3,1),(1,1,3),(2,2,1),(2,1,2),(1,2,2) 6
第3励起 10
第4励起 15
第n励起 n個のものを並べたところに2つの仕切りを差し込む組み合わせ*2 n+2C2

*1:1次元井戸型ポテンシャル問題については以下のサイトで解説されている.
http://www.chem.ous.ac.jp/~waka/compchem/free_particle/fp-2.html
変数分離については以下の記事で紹介している.

3次元定常シュレーディンガー方程式の変数分離 - 三浦と窮理とブログ

*2:n個のものを3種のグループに分ける重複組み合わせの考え方とも同じ. 3Hn = n+2Cn = n+2C2