直方体に閉じ込められた粒子の波動関数と縮退度

粒子が透過できない壁を持つ3辺の長さが x=a , y=b , z=c の直方体の箱に閉じ込められた質量 m の粒子を考える．

ポテンシャルは

\begin{align} V(\boldsymbol{x}) &= V(x) + V(y) + V(z) \\ V(x) &= \begin{cases}0&(0\le x \le a)\\\infty &(a \le x)\end{cases} ~, \quad V(y) = \begin{cases}0&(0\le y \le b)\\\infty &(b \le y)\end{cases} ~, \quad V(z) = \begin{cases}0&(0\le z \le c)\\\infty &(c \le z)\end{cases} \end{align}

と表される．よって各座標成分に変数分離したシュレディンガー方程式

\begin{equation} \left( -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{{dx_i}^2} + V(x _ i) \right) \psi_i(x_i) = E_i \psi_i (x_i) \qquad(i=1,2,3) \end{equation}

を解くことで，この系の固有関数 $ \psi(\boldsymbol{x}) = \psi _ 1(x)\psi _ 2(y)\psi _ 3(z)$ とエネルギー固有値 E = E₁ + E₂ + E₃ が

\begin{align} \psi_{n_x, n_y,n_z}(\boldsymbol{x}) &= A \sin\left (\frac{ n_x\pi}{a} x \right )\sin\left (\frac{ n_y\pi}{b} y \right )\sin\left (\frac{ n_z\pi}{c} z \right ) \\ E_{n_x, n_y,n_z}&= \frac{\hbar^2 \pi^2}{2m} ( \left (\frac{n_x}{a} \right )^2 +\left (\frac{n_y}{b} \right )^2+\left (\frac{n_z}{c} \right )^2 ) \\ n_i &\in \mathbb{N} \end{align}

と求まる． $ A = \sqrt{\frac{2 ^ 3}{abc}} $ ．参考*1

また，a = b = c のとき

\begin{equation} E_{n_x, n_y,n_z} = \frac{\hbar^2 \pi^2}{2ma^2} ( {n_x}^2 +{n_y}^2 + {n_z}^2 ) \end{equation}

である．このとき，ある2つの状態に対して，量子数 (n_x , n_y , n_z) が異なる独立な固有状態であるが，エネルギー固有値が等しくなる場合がある． ▶クリックで例を開く

このような性質を二つの固有状態が縮退しているという．

以下に基底状態から第4励起状態までと第n励起状態の縮退度を示す．

励起状態	(n_x , n_y , n_z)	縮退度
基底	(1,1,1)	1
第1励起	(2,1,1),(1,2,1),(1,1,2)	3
第2励起	(3,1,1),(1,3,1),(1,1,3),(2,2,1),(2,1,2),(1,2,2)	6
第3励起		10
第4励起		15
第n励起	n個のものを並べたところに2つの仕切りを差し込む組み合わせ*2	_n+2C₂