量子力学の3次元極座標表示と微分演算子のエルミート共役

位置演算子 $ \hat{\boldsymbol{x}} $ を直交座標では $ \hat{\boldsymbol{x}}=(\hat{x},\hat{y},\hat{z}) $ ， 極座標では $ \hat{\boldsymbol{x}}=(\hat{r},\hat{\theta},\hat{\phi} )$ と表す． 基底 $ | \boldsymbol{x}\rangle $ を直交座標では $| \boldsymbol{x} \rangle= |x,y,z\rangle $ ， 極座標では $ | \boldsymbol{x} \rangle=|r,\theta,\phi\rangle $ と表す． $ \hat{\boldsymbol{L}} $ を軌道角運動量演算子， $ \hat{\boldsymbol{p}} $ を運動量演算子とする．

これらは，

\begin{align} (\hat{x},\hat{y},\hat{z}) | x,y,z \rangle &= (x,y,z) | x,y,z\rangle \\ (\hat{x},\hat{y},\hat{z}) |r,\theta,\phi\rangle &= (r\sin\theta\cos\phi,r\sin\theta\sin\phi,r\cos\theta) |r,\theta,\phi\rangle \\ \hat{\boldsymbol{x}}^2 | x,y,z \rangle &= (x^2+y^2+z^2) | x,y,z\rangle \\ \hat{\boldsymbol{x}}^2 | r,\theta,\phi\rangle &= r^2| r,\theta,\phi\rangle \\ (\hat{p}_x,\hat{p}_y,\hat{p}_z) | x,y,z \rangle &= (-i\hbar\frac{\partial}{\partial x},-i\hbar\frac{\partial}{\partial y},-i\hbar\frac{\partial}{\partial z} ) | x,y,z\rangle \\ \hat{p}_x |r,\theta,\phi\rangle &= -i\hbar \left (\sin \theta \cos \phi \frac { \partial } { \partial r } + \frac { \cos \theta \cos \phi } { r } \frac { \partial } { \partial \theta } - \frac { \sin \phi } { r \sin \theta } \frac { \partial } { \partial \phi } \right ) |r,\theta,\phi\rangle \\ \hat{p}_y |r,\theta,\phi\rangle &= -i\hbar \left ( \sin \theta \sin \phi \frac { \partial } { \partial r } + \frac { \cos \theta \sin \phi } { r } \frac { \partial } { \partial \theta } + \frac { \cos \phi } { r \sin \theta } \frac { \partial } { \partial \phi }\right ) |r,\theta,\phi\rangle \\ \hat{p}_z |r,\theta,\phi\rangle &= -i\hbar \left (\cos \theta \frac { \partial } { \partial r } - \frac { \sin \theta } { r } \frac { \partial } { \partial \theta } \right )|r,\theta,\phi\rangle \\ \hat{\boldsymbol{p}}^2 | x,y,z \rangle &= -\hbar^2 (\frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} ) | x,y,z \rangle\\ \hat{\boldsymbol{p}}^2 |r,\theta,\phi \rangle &= -\hbar^2 (\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partial}{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin\theta\frac{\partial}{\partial \theta}\right) + \frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial \phi^2}) | r,\theta,\phi \rangle\\ \hat{L}_{x_i} | x,y,z \rangle &= \epsilon_{ijk} x_j \frac{\partial}{\partial x_k} | x,y,z\rangle , \quad(x_1,x_2,x_3):=(x,y,z) \\ \hat{L}_x |r,\theta,\phi\rangle &= i \hbar ( \sin \phi \frac { \partial } { \partial \theta } + \cot \theta \cos \phi \frac { \partial } { \partial \phi } )|r,\theta,\phi\rangle \\ \hat{L}_y |r,\theta,\phi\rangle &= - i \hbar ( \cos \phi \frac { \partial } { \partial \theta } - \cot \theta \sin \phi \frac { \partial } { \partial \phi } ) |r,\theta,\phi\rangle \\ \hat{L}_z |r,\theta,\phi\rangle &= - i \hbar \frac { \partial } { \partial \phi } |r,\theta,\phi\rangle \\ \hat{\boldsymbol{L}}^2 | r,\theta,\phi\rangle &= -\hbar^2 (\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin\theta\frac{\partial}{\partial \theta}\right) + \frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial \phi^2})| r,\theta,\phi\rangle \\ (\hat{r},\hat{\theta},\hat{\phi} ) | r,\theta,\phi\rangle &= (r,\theta,\phi)| r,\theta,\phi\rangle \\ (\hat{r},\hat{\theta},\hat{\phi} ) |x,y,z\rangle &= (\sqrt{x^2+y^2+z^2},\tan^{-1} \frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z},\tan^{-1} \frac{y}{x}) |x,y,z\rangle \\ \hat{1} &= \int_{-\infty}^{\infty} dxdydz | x,y,z \rangle \langle x,y,z | \\ &= \int_{0}^{\infty} dr \int_{-\pi}^{\pi} d\theta \int_{0}^{2\pi}d\phi r^2 \sin\theta| r,\theta,\phi\rangle \langle r,\theta,\phi | \end{align}

と表される．

参考

三次元極座標のラプラシアン

1.5 角運動量演算子の極座標表示

3次元極座標微分演算子のエルミート共役

$ \frac{\partial}{\partial r} ,\frac{\partial}{\partial \theta} , \frac{\partial}{\partial \phi} $ のエルミート共役は

\begin{align} \frac{\partial}{\partial r}^\dagger &= -\frac{2}{r} - \frac { \partial } { \partial r }\\ \frac{\partial}{\partial \theta} ^\dagger &= -\cot\theta - \frac { \partial } { \partial \theta } \\ \frac{\partial}{\partial \phi} ^\dagger&= -\frac { \partial } { \partial \phi } \end{align}

である．

導出

$ r $ 成分に関して， $ r\to\infty $ で値が0になるような波動関数 $ \psi _ \alpha (r,\theta,\phi),\psi _ \beta (r,\theta,\phi) $ に対して，

\begin{align} &\int_{0}^{\infty} dr \int_{-\pi}^{\pi} d\theta \int_{0}^{2\pi}d\phi r^2 \sin\theta \psi ^*_ \alpha (r,\theta,\phi) \frac { \partial } { \partial r } \psi _ \beta (r,\theta,\phi) \\ &= \int_{-\pi}^{\pi}d\theta\int_{0}^{2\pi}d\phi \sin\theta \Bigl \{ \underbrace{[r^2\psi^* _ \alpha (r,\theta,\phi)\psi _ \beta (r,\theta,\phi)] _{0}^{\infty}}_{=0} - \int_{0}^{\infty} dr\underbrace{(\frac { \partial } { \partial r }r^2\psi _ \alpha^* (r,\theta,\phi))}_{=2r\psi _ \alpha^* +r^2\frac { \partial } { \partial r }\psi _ \alpha^* } \psi _ \beta (r,\theta,\phi) \Bigr \} \\ &= \int_{0}^{\infty} dr \int_{-\pi}^{\pi} d\theta \int_{0}^{2\pi}d\phi r^2 \sin\theta (-\frac{2}{r} - \frac { \partial } { \partial r }) \psi _ \alpha^* \psi _ \beta\\ &= \left ( \int_{0}^{\infty} dr \int_{-\pi}^{\pi} d\theta\int_{0}^{2\pi}d\phi r^2 \sin\theta \psi^* _ \beta \left (-\frac{2}{r} - \frac { \partial } { \partial r }\right )\psi _ \alpha \right )^* \end{align}

よって $ \frac { \partial } { \partial r } $ のエルミート共役は $ -\frac{2}{r} - \frac { \partial } { \partial r } $ である．

$ \theta $ 成分について，

\begin{align} &\int_{0}^{\infty} dr \int_{-\pi}^{\pi} d\theta \int_{0}^{2\pi}d\phi r^2 \sin\theta \psi ^*_ \alpha (r,\theta,\phi) \frac { \partial } { \partial \theta } \psi _ \beta (r,\theta,\phi) \\ &= \int_{0}^{\infty} dr \int_{0}^{2\pi}d\phi r^2 \Bigl \{ \underbrace{[\sin\theta\psi^* _ \alpha (r,\theta,\phi)\psi _ \beta (r,\theta,\phi)] _{-\pi}^{\pi}}_{=0} - \int_{-\pi}^{\pi} d\theta \underbrace{(\frac { \partial } { \partial \theta }\sin\theta\psi _ \alpha^* (r,\theta,\phi))}_{=\cos\theta\psi _ \alpha^* +\sin\theta \frac { \partial } { \partial \theta }\psi _ \alpha^* } \psi _ \beta (r,\theta,\phi) \Bigr \} \\ &= \int_{0}^{\infty} dr \int_{-\pi}^{\pi} d\theta \int_{0}^{2\pi}d\phi r^2 \sin\theta (-\cot\theta - \frac { \partial } { \partial \theta }) \psi _ \alpha^* \psi _ \beta \\ &= \left ( \int_{0}^{\infty} dr \int_{-\pi}^{\pi} d\theta\int_{0}^{2\pi}d\phi r^2 \sin\theta \psi^* _ \beta \left (-\cot\theta - \frac { \partial } { \partial \theta }\right )\psi _ \alpha \right )^* \end{align}

よって $ \frac { \partial } { \partial \theta } $ のエルミート共役は $ -\cot\theta - \frac { \partial } { \partial \theta } $ である．

$ \phi $ 成分について，

\begin{align} &\int_{0}^{\infty} dr \int_{-\pi}^{\pi} d\theta \int_{0}^{2\pi}d\phi r^2 \sin\theta \psi ^*_ \alpha (r,\theta,\phi) \frac { \partial } { \partial \phi } \psi _ \beta (r,\theta,\phi) \\ &= \int_{0}^{\infty} dr \int_{-\pi}^{\pi} d\theta r^2 \sin\theta \Bigl \{ \underbrace{[\psi^* _ \alpha (r,\theta,\phi)\psi _ \beta (r,\theta,\phi)] _0^{2\pi}}_{=0} -\int_{0}^{2\pi}d\phi (\frac { \partial } { \partial \phi }\psi _ \alpha^* (r,\theta,\phi))\psi _ \beta (r,\theta,\phi) \Bigr \} \\ &= \left ( \int_{0}^{\infty} dr \int_{-\pi}^{\pi} d\theta \int_{0}^{2\pi}d\phi r^2 \sin\theta \psi^* _ \beta(r,\theta,\phi) \left (-\frac { \partial } { \partial \phi }\right )\psi _ \alpha (r,\theta,\phi) \right )^* \end{align}

よって $ \frac { \partial } { \partial \phi } $ のエルミート共役は $ -\frac { \partial } { \partial \phi } $ である．

参考文献

現代の量子力学(上) 第2版 (物理学叢書)