気体の体膨張率を $ \alpha $ ，等温圧縮率を $ \kappa _ T $ とするとき，次の関係が成り立つ．
\begin{equation}
\frac{1}{V} d V=\alpha d T-\kappa _ {T} d p
\end{equation}
$ \alpha $ と $ \beta $ が温度や圧力に依らぬ定数であったとし，温度 $ T _ 0 $ ，圧力 $ p _ 0 $ のときの体積を $ V _ 0 $ としたときのこの気体の状態方程式は
\begin{equation}
V=V _ {0} e ^ {\alpha\left(T-T _ {0}\right)-\kappa _ T(p-p _ {0})}
\end{equation}
となる．
導出
気体の状態方程式を $ f(p,T,V)=0 $ とする． 次の記事【熱力学】気体の状態方程式といろいろな係数 - 三浦と窮理とブログの式(1)より，
\begin{align}
Vf _ V \kappa _ T dp &- V f _ V \alpha dT + f _ V dV =0
\\
\Leftrightarrow\quad \frac{1}{V} d V &=\alpha d T-\kappa _ {T} d p
\end{align}
である．
両辺の積分をとると，
\begin{align}
\int ^ V _ {V _ 0} \frac{1}{V} d V &=\alpha \int ^ T _ {T _ 0} d T-\kappa _ {T} \int ^ p _ {p _ 0} d p
\\
\Leftrightarrow\quad \ln \frac{V}{V _ 0} &= \alpha (T-T _ 0) - \kappa _ T (p-p _ 0)
\\
\Leftrightarrow\quad V &= V _ 0 e ^ {\alpha (T-T _ 0) - \kappa _ T (p-p _ 0)}
\end{align}
と求まる．
