【熱力学】高所ほど気圧が低くなることについて

地球上で空気が高さ方向に静止していて熱平衡であり，温度が $ T $ とする．単位面積の底面をもつ空気柱を考える．高さ $ h $ と $ h+dh $ の間の圧力差 $ dp $ は

\begin{equation} d p = - \rho ( h ) g d h \end{equation}

となる． $ \rho(h) $ [質量/体積]は高さ $ h $ での空気の質量密度， $ g $ は重力加速度である．

空気を平均分子量 $ M $ の理想気体として，高さ $ h $ における圧力 $ p(h) $ は地表の圧力を $ p _ 0 $ として，

\begin{equation} p(h) = p _ 0 \exp \left (- \frac{Mg}{RT} h \right ) \end{equation}

となる．高さによって圧力が指数的に減少することが言える．

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詳細

高さ $ h $ の位置にある，単位底面積を持つ高さ $ dh $ の円柱の力のつり合い条件より，

\begin{align} &p(h+dh) + g \rho(h)dh = p(h) \\ \Leftrightarrow\quad& p(h+dh) -p(h) = -g \rho(h)dh \\ \Leftrightarrow\quad& dp = -g \rho(h)dh \label{eq:netu2dp} \end{align}

が成り立つ．

▶TikZコード

\begin{tikzpicture}
    \node[above right] (T) at (1,0) {温度$ T $};
    \draw (-2,0) -- node[below] {地球} node[above] {空気} (2,0);
    \draw (.5,0) -- (.5,5);
    \draw (-.5,0) -- (-.5,5);
    %円柱
    \draw (-.5,2) arc [start angle=180,end angle=360,x radius=.5,y radius=.1];
    \draw[dashed] (.5,2) arc [start angle=0,end angle=180,x radius=0.5,y radius=.1];
    \draw (-.5,2.25) arc [start angle=180,end angle=360,x radius=.5,y radius=.1];
    \draw[dashed] (.5,2.25) arc [start angle=0,end angle=180,x radius=0.5,y radius=.1];
    %高さ
    \draw[<->] (-.7,0) -- node[left] {$ h $} (-.7,2);
    \draw[<->] (-.7,2) -- node[left] {$ dh $} (-.7,2.25);
\end{tikzpicture}
\begin{tikzpicture}
    \draw (-1,0) arc [start angle=180,end angle=360,x radius=1,y radius=.3];
    \draw[dashed] (1,0) arc [start angle=0,end angle=180,x radius=1,y radius=.3];
    \draw (0,1) ellipse [x radius=1,y radius=.3];
    \draw (-1,0) -- (-1,1);
    \draw (1,0) -- node[right]{$ V,n $} (1,1);
    %力
    \draw[->,thick] (0,2) -- node[right] {$ p(h+dh) $} (0,1);
    \draw[->,thick] (0,-1.5) -- node[right] {$ p(h) $} (0,0);
    \draw[->,thick] (-.1,.5) -- node[below left] {$ g\rho(h)dh $} (-0.1,-1);
\end{tikzpicture}

右図の円柱の体積を $ V $ ，含まれている空気の物質量を $ n $ とする．空気の平均分子量が $ M $ なので，平均モル質量は $ M $ [質量/mol]である． (モル質量 - Wikipedia)

よって

\begin{align} Mn = \rho V \end{align}

が成り立つ．よって理想気体の状態方程式より

\begin{align} &pV = nRT \\ \Leftrightarrow\quad& \frac{n}{V} =\frac{1}{RT}p \\ \Leftrightarrow\quad& \frac{\rho}{M} = \frac{1}{RT}p \\ \Leftrightarrow\quad& \rho(h) = \frac{M}{RT} p(h) \end{align}

よって式\eqref{eq:netu2dp}より，

\begin{align} \frac{dp}{dh} = - \frac{Mg}{RT} p(h). \end{align}

よって，地表の圧力を $ p _ 0 :=p(h=0) $ を用いて，

\begin{equation} p(h) = p _ 0 \exp \left ( - \frac{Mg}{RT} h \right ) \end{equation}

である．

参考

熱力学