三浦ノート

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【熱力学】高所ほど気圧が低くなることについて

地球上で空気が高さ方向に静止していて熱平衡であり,温度が $ T $ とする.単位面積の底面をもつ空気柱を考える.高さ $ h $ と $ h+dh $ の間の圧力差 $ dp $ は

\begin{equation} d p = - \rho ( h ) g d h \end{equation}

となる. $ \rho(h) $ [質量/体積]は高さ $ h $ での空気の質量密度, $ g $ は重力加速度である.

空気を平均分子量 $ M $ の理想気体として,高さ $ h $ における圧力 $ p(h) $ は地表の圧力を $ p _ 0 $ として,

\begin{equation} p(h) = p _ 0 \exp \left (- \frac{Mg}{RT} h \right ) \end{equation}

となる.高さによって圧力が指数的に減少することが言える.


詳細

高さ $ h $ の位置にある,単位底面積を持つ高さ $ dh $ の円柱の力のつり合い条件より,

\begin{align} &p(h+dh) + g \rho(h)dh = p(h) \\ \Leftrightarrow\quad& p(h+dh) -p(h) = -g \rho(h)dh \\ \Leftrightarrow\quad& dp = -g \rho(h)dh \label{eq:netu2dp} \end{align}

が成り立つ.

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▶TikZコード

右図の円柱の体積を $ V $ ,含まれている空気の物質量を $ n $ とする.空気の平均分子量が $ M $ なので,平均モル質量は $ M $ [質量/mol]である. (モル質量 - Wikipedia)

よって

\begin{align} Mn = \rho V \end{align}

が成り立つ.よって理想気体の状態方程式より

\begin{align} &pV = nRT \\ \Leftrightarrow\quad& \frac{n}{V} =\frac{1}{RT}p \\ \Leftrightarrow\quad& \frac{\rho}{M} = \frac{1}{RT}p \\ \Leftrightarrow\quad& \rho(h) = \frac{M}{RT} p(h) \end{align}

よって式\eqref{eq:netu2dp}より,

\begin{align} \frac{dp}{dh} = - \frac{Mg}{RT} p(h). \end{align}

よって,地表の圧力を $ p _ 0 :=p(h=0) $ を用いて,

\begin{equation} p(h) = p _ 0 \exp \left ( - \frac{Mg}{RT} h \right ) \end{equation}

である.

参考

熱力学

熱力学