相加・相乗平均の3次元グラフを描く．描画ソフトはgeogebraを用いる． 相加・相乗平均の不等式 実数 $a , b \geq 0$ に対し，$\displaystyle \frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$ が成り立つ．等号条件は $a=b$ である． $\displaystyle \frac{a+b}{2}$ と $\sqrt…

ブログ内で画像をきれいに表示したいと思ったので，ベクター形式であるsvg画像を貼る方法を調べたのでそのメモです． 基本的にはHTML上でのsvgファイルの表示方法を使うだけです． svgファイルをテキストエディタで開いて <svg> ... </svg> の部分をコピペすれば表示で…

命題 ディラックのデルタ関数 $\delta(x)$ について以下の公式が成り立つ． 公式(a) \begin{equation} \displaystyle \delta \left((x-a)(x-b) \right)=\frac{1}{|a-b|} [\delta (x-a)+\delta(x-b)] ，a \neq b \end{equation} 公式(b) 方程式 f(x) = 0 に対…

量子力学でよく用いられるベイカー・キャンベル・ハウスドルフの公式(Baker–Campbell–Hausdorff formula)を示そう． 命題 演算子 $\hat{A},\hat{B}$ に対して次の2つが成り立つ． (a) 実数 $t$ に対して $\hat{B}(t) \equiv \exp(t\hat{A})\hat{B}\exp(-t\ha…

動作環境 powerpoint2016 IguanaTeX v1.55 powerpointでTeXの数式をベクター画像で挿入することができるアドインがある． IguanaTexというアドインである． 以下のHPから.ppamをダウンロードできる． IguanaTex - A Free Latex Add-In for PowerPoint on Win…

Latexで数式の上から斜線の取り消し線を引くにはcancel.styというスタイルファイルをインポートして\cancelコマンドを用いればよい．同様にMathJaxではcancel.jsというエクステンションをインポートすることで\cancelコマンドが使えるようになる．エクステン…

命題 補題 補題1・Schwarzの不等式 補題２・エルミート演算子の期待値は実数である． 補題３・反エルミート演算子の期待値は純虚数である． 命題の証明 例・位置と運動量の不確定性関係 $\require{cancel}$ 命題 エルミート演算子 $\hat{A}$，$\hat{B}$ とそ…

命題 (a) エルミート演算子の固有値は実数である． (b) １つのエルミート演算子の異なる固有値に対応する固有状態は互いに直交する． (a)の証明 あるエルミート演算子 $\hat{A}$ に対して，その固有状態を $|a_i \rangle$ ，固有値を複素数 $a_i $ とする(添…

命題 ある関数 $\psi(x)$，$\phi(x)$ が実数 $x$ のすべての領域で定義されており，境界条件 \begin{equation} \lim_{x \to \pm \infty} \psi(x) = 0 \ , \ \ \ \lim_{x \to \pm \infty} \phi(x) = 0 \end{equation} をみたすものとする．このとき，位置演算…

問題 二つの状態ベクトル $|A \rangle $，$|B \rangle$ の長さについての三角不等式 $$||A \rangle + |B \rangle | \leq ||A \rangle | + ||B \rangle |$$ を証明せよ． Schwarzの不等式 $$|\langle A|B \rangle| \leq ||A \rangle | \cdot ||B \rangle |$$ …