命題
(a) エルミート演算子の固有値は実数である．
(b) １つのエルミート演算子の異なる固有値に対応する固有状態は互いに直交する．
(a)の証明
あるエルミート演算子 $\hat{A}$ に対して，その固有状態を $|a_i \rangle$ ，固有値を複素数 $a_i $ とする(添え字 $i$ は０を含む自然数)．すなわち $i$ 番目の固有値方程式は $$\hat{A} |a_i \rangle = a_i |a_i \rangle \tag{1}$$ と表される．エルミート性より $\hat{A}^{\dagger} =\hat{A}$ なので，$j$ 番目の固有値方程式の両辺のエルミート共役をとると，
$$\langle a_j | \hat{A}=a_j^* \langle a_j| \tag{2}$$
となる．式(1)の両辺に左から $\langle a_j |$ をかけ，式(2)の両辺に右から $|a_i \rangle$ をかける．
\begin{eqnarray} \langle a_j | \hat{A} |a_i \rangle &=& a_i \langle a_j |a_i \rangle \tag{3} \quad \\ \langle a_j | \hat{A} |a_i \rangle &=& a_j^* \langle a_j|a_i \rangle \tag{4} \end{eqnarray}
$(3)-(4)$ より， $$(a_i -a_j^{*})\langle a_j |a_i \rangle =0 \tag{5}$$ が成り立つ．$i=j$ のとき，$\langle a_i |a_i \rangle \neq 0 $ なので $a_i=a_i^{*}$ である．複素共役が不変なので $a_i$ は実数である．つまり，エルミート演算子の固有値は実数であることが示された．
(b)の証明
エルミート演算子の固有値が実数であることが先ほど示されたので $a_j^{*}= a_j$ である．よって $i \neq j$ のとき，$a_i - a_j^{*} = a_i - a_j \neq 0$ なので，式(5)より $\langle a_j |a_i \rangle = 0$ である．つまり，異なる固有値に対応する固有状態は直交する．
