三浦と窮理とブログ

主に自然科学について自分が勉強してきたことについて書いていきます.誰かの役に立ってくれれば嬉しいです.

水素原子の基底状態のエネルギーと半径の長さの古典的概算

問題

水素原子が半径 $r_0$ の球と考える.電子の位置の不確定さが $r_0$ 程度で,$r_0$ と運動量の不確かさ $p_0$ の積 $r_0 p_0$ が最小になる基底状態を考えると、不確定性原理より運動量の不確定さは $\hbar / r_0$ 程度ということになる.電子の持つエネルギー(運動エネルギーとクーロン力による静電エネルギー) \begin{equation} E = \frac{p^2}{2m_e} - \frac{e^2}{4\pi \epsilon _0 r} \end{equation} を計算するのに,$r = r_0$ ,$p = \hbar / r_0$ として大雑把な値を見積もることにする.基底状態(最もエネルギーの低い状態)のエネルギーと,そのときの半径を求めよ.

解答

式(1) に $r = r_0$ ,$p = \hbar / r_0$ を代入すると, \[E = \frac{\hbar^2}{2m_e {r_0}^2} - \frac{e^2}{4\pi \epsilon _0 r_0} \] となる.この式は$1 / r_0$ に関して下に凸の二次関数である.その最小値(グラフの頂点)を求めるために $1 / r_0$ について平方完成すると \[E = \frac{\hbar^2}{2m_e} \left(\frac{1}{r_0}-\frac{e^2 m_e}{4\pi \epsilon_0 \hbar^2} \right)^2 - \frac{e^4 m_e}{32\pi^2 {\epsilon_0}^2 \hbar^2}\] となる. ▶クリックで途中計算を開く

よって $E$ の最小値は $- \frac{e^4 m_e}{32\pi^2 {\epsilon_0}^2 \hbar^2} \fallingdotseq -2.180 \times 10^{-18} \ [\mathrm{J}]$ である.

そのときの半径は $r_0 = \frac{4\pi \epsilon_0 \hbar^2}{e^2 m_e} \fallingdotseq 5.291 \times 10^{-11} \ [\mathrm{m}]$

この $r_0$ の値はボーア半径に等しい.