三浦と窮理とブログ

主に自然科学について自分が勉強してきたことについて書いていきます.困っている誰かの役に立ちたいですし,そのためにもっと成長したいです.

1000ボルトで加速した電子の位置と運動量の測定不確定性

問題

1000ボルトで加速した電子の位置 x と運動量 p を,同時に測定することを考える.位置の精度を 10-10 m で測定できたならば,運動量成分は何パーセント程度の測定となるか.

解答

電子の持つエネルギーは eV [J] である.(e:電荷素量.V = 1000)

ポテンシャルエネルギーを考えないとすると, eV は電子の持つ運動量エネルギーと等しい.

よって, eV = p2 / (2me) (meは電子の質量)なので, \[p = \sqrt{2 m_e eV} \fallingdotseq 1.708\times 10^{-23} \] である.

位置と運動量の不確定性関係より,位置の精度 Δx と運動量の精度 Δp の積は少なくとも,

(Δx)2(Δp)2 = $\frac{\hbar^2}{4}$

である.Δx = 10-10 なので,Δp = $\frac{\hbar}{2}\times 10^{10} \fallingdotseq 5.273 \times 10^{-25}$となる.

よって,この運動量値 p に対する測定の精度 Δp の割合は Δp / p ≒ 0.031 である.すなわち,3.1%程度の精度の測定となる.