記法
定義
補題
命題
証明
- K が複体として連結である． ⇒ |K| は位相空間として連結である．
- K が複体として連結である． ⇐ |K| は位相空間として連結である．

記法

K⁽⁰⁾ は単体複体 K に含まれる0-単体(頂点)の集合．

|K| は単体複体 K をR^m 上の部分集合として見たもの．すなわち $|K| = {\displaystyle \bigcup_{\sigma \in K} \sigma}$ ．

σ° は単体 σ の内部．

σ^・は単体 σ の境界．

σ が τ の辺単体であることは σ ≼ τ と表す．（σ が τ の真の辺単体であることは σ ≺ τ で表す．）

st(v) は閉星状体 := ${\displaystyle \left(\bigcup_{v \in \sigma \in K} \sigma \right)} $ ⊂ K ▶クリックで閉星状体のイメージ図を開く

詳しい定義は参考 *1 にしたがっている．

定義

位相空間が連結である．

位相空間 X がどちらも閉集合(またはどちらも開集合)である2つの部分集合 A , B (≠∅) で X = A ∪ B と表されるならば，A ∩ B ≠ ∅ であるとき，X は連結であるという．

これは，連結な位相空間は閉集合同士（または開集合同士）で分離できないという性質である．参考 *2

位相空間が弧状連結である．

位相空間 X 上の任意の2点を結ぶ孤が X 上に存在するとき，その位相空間 X を弧状連結であるという．

単体複体が連結である．

単体複体 K の任意の2つの頂点 v , v' に対し，有限の長さの K の頂点列 v = v₁ , v₂ , … , v_k = v' s.t.〈v_i , v_i+1〉∈ K , (1 ≤ i ≤ k-1 ) が存在するとき，この単体複体 K は連結であるという．

これは複体上の任意の2つの頂点をその複体上の1-単体で結ぶことができるという性質である．

補題

任意の点 x ∈ |K| に対して，x ∈ σ° となる単体 σ ∈ K が1つだけ存在する
(^∀x ∈ |K| , ^∃!σ ∈ K s.t. x ∈ σ°)

▶クリックで補題の証明を開く

命題

K が複体として連結である． ⇔ |K| は位相空間として連結である．

証明

K が複体として連結である． ⇒ |K| は位相空間として連結である．

一般に集合が弧状連結ならば連結なので，「単体複体 K が連結である． ⇒ 位相空間 |K| は弧状連結である」ことを示せばよい．

任意の2点 x , y ∈ |K| を結ぶ孤を構成しよう．

x , y が K の頂点であるかどうかに関して以下の3つの場合に分けて考えよう．

(a) x と y のどちらも K の頂点である．
(b) x と y のどちらか一方が K の頂点である．
(c) x と y のどちらも K の頂点にない．

(a) の場合

単体複体としての連結性より，K の頂点列 x = v₁ , v₂ , … , v_k = y s.t.〈v_i , v_i+1〉∈ K が存在する．

そして ${\displaystyle\bigcup_{i=1}^{k-1} \langle v_i,v_{i+1} \rangle}$ は x と y を結ぶ |K| 上の孤となっている．

(b) の場合

ここでは x が K の頂点ではなく，y が K の頂点である場合を考える．逆の場合も同様に孤を構成できる．

補題より σ ∈ K s.t. x ∈ σ° が1つ存在する．そして σ のとある頂点 v を選ぶ．

x ∈ σ° より x ≠ v なので，x と v は一般の位置にあり，1-単体〈x ,v〉⊂σ を構成できる．

2つの K の頂点 v と y に対して，K の単体複体としての連結性より，K の頂点列 v = v₁ , v₂ , … , v_k = y s.t.〈v_i , v_i+1〉∈ K が存在する．

そして ${\displaystyle \langle x,v \rangle \cup \left(\bigcup_{i=1}^{k-1} \langle v_i,v_{i+1} \rangle \right)}$ は x と y を結ぶ |K| 上の孤となっている．

K が複体として連結である． ⇐ |K| は位相空間として連結である．

方針：位相空間としての連結性より，とある頂点は孤立せず，かならず隣の頂点が単体複体に存在することから，頂点列を探していく．来た道は戻らないように次の頂点を探すことで，頂点の取り方が全部で有限通りになるようにする．終点も与えられているので，終点への方向性をある程度もって探していく．

^∀ v , v' ∈ K⁽⁰⁾ (v ≠ v') に対して，$|K| = {\displaystyle \bigcup_{\sigma \in K} \sigma} $ は位相空間として連結なので，$ {\displaystyle v \cup \left(\bigcup_{\sigma \in K-\{\langle v \rangle \}} \sigma \right) \neq \emptyset}$ である．

よって，v を含む単体が K - {〈v〉} に存在し，それらの和集合 st(v) を考える．

v' ∈ st(v) の場合は1－単体〈v , v’〉∈ K が得られて終了．

v' ∉ st(v) の場合は，次の頂点 v₂ を ( K - st(v) ) ∩ st(v) の中から探そう．

K - st(v) は2つの部分に分離している場合もあるので，v' を含む部分を選ぶ．この選ばれた単体複体を K₂ とおく．（i.e. v' ∈ K₂）（分離していない場合はそのまま K₂ = K - st(v) ） ▶クリックで K₂ を選ぶイメージ図を開く