位相空間論の連結性についての例題を解きましたので，解答を載せていきます．
目次
定義
位相空間 $ (X,\mathcal{O}) $ が連結(集合)である．
⇕def
$ X $ の2つの開集合 $ O _ 1,O _ 2 $ が
\begin{equation}
O _ 1 \cup O _ 2 =X ~,~ O _ 1 \cap O _ 2 = \emptyset
\end{equation}
を満たすのは，
\begin{align}
&O _ 1 = X ~,~ O _ 2 = \emptyset
\\
&または \nonumber
\\
&O _ 1 = \emptyset ~,~ O _ 2 = X
\end{align}
のときのみである．(i.e. X全体を，X,∅という組以外の開(閉)集合の組で分離できない．)
⇕
$ (X,\mathcal{O}) $ の開かつ閉となる部分集合は $ X,\emptyset $ のみである．
位相空間 $ (X,\mathcal{O}) $ の部分集合 $ A $ が相対位相に対して連結である．
⇕
$ O _ 1,O _ 2\in \mathcal{ O } $ が $ A \subset O _ 1 \cup O _ 2 ~,~ (O _ 1\cap A) \cap (O _ 2\cap A) = \emptyset $ を満たすのは，
\begin{align}
&O _ 1 \cap A = A ~,~ O _ 2 \cap A = \emptyset
\\
&または \nonumber
\\
&O _ 1 \cap A = \emptyset ~,~ O _ 2 \cap A = A
\end{align}
のときのみである．
連結な5点位相空間の例
5点集合 $ X=\{a,b,c,d,e\} $ に次の位相を与える：
\begin{equation}
\mathcal { O } = \{ \emptyset , \{ a \} , \{ c \} , \{ a , c \} , \{ a , d \} , \{ a , c , d \} , X \}
\end{equation}
このとき，位相空間 $ (X,\mathcal{O}) $ は連結である．
・証明
$ (X,\mathcal{O}) $ の閉集合全体は
\begin{equation}
\{ \emptyset , \{ b,e \} , \{ b,c,e \} , \{ b,d,e \} , \{ a , b,d,e \} , \{ b , c , d,e \} , X \}
\end{equation}
である．
よって $ (X,\mathcal{O}) $ の開かつ閉である部分集合は全部で $ \emptyset,X $ であるので， $ (X,\mathcal{O}) $ は連結である．
連結ではない4点位相空間の例
4点集合 $ X=\{a,b,c,d\} $ に次の位相を与える：
\begin{equation}
\mathcal { O } = \{ \emptyset , \{ a \} , \{b,d \} , \{ a ,b, d \} , \{ b , c , d \} , X \}
\end{equation}
このとき，位相空間 $ (X,\mathcal{O}) $ は連結ではない．
・証明
$ O _ 1 := \{a\} ~,~ O _ 2 := \{b,c,d\}$ とおくと， $ O _ 1 \cup O _ 2 = X ~,~ O _ 1 \cap O _ 2 =\emptyset $ である．
$ O _ 1,O _ 2 $ はいずれも $ X $ でも $ \emptyset $ でもないので $ (X,\mathcal{O}) $ は連結ではない．
互いに交わる2つの連結集合の共通部分が連結集合にならない例
例えば2次元ユークリッド空間 $ \mathbb{R} ^ 2 $ 上で次の図のような連結集合 $ A,B $ を考えると， $ A\cap B $ は連結集合ではない．
▶TikZコード
\usetikzlibrary{intersections}
\begin{tikzpicture}
%軸
\draw[->] (-3,0) -- (3,0);
\draw[->] (0,-3) -- (0,3);
%A
\draw [name path=A] (2,-.5) arc [start angle=0,end angle=180,radius=2];
\node[above right] at (1,1) {$ A$ };
%B
\draw [name path=B] (-2,.5) arc [start angle=180,end angle=360,radius=2];
\node[below right] at (1,-1) {$ B$ };
%A∩B
\fill [name intersections={of=A and B}]
(intersection-1) circle (2pt)
(intersection-2) circle (2pt);
\end{tikzpicture}
互いに交わる2つの連結集合の和集合は連結である．
$ X $ を位相空間とし， $ A _ 1,A _ 2 \subset X $ を2つの連結な部分集合で， $ A _ 1\cap A _ 2 \ne \emptyset $ であるものとする．
このとき，和集合 $ A:= A _ 1 \cup A _ 2 $ は連結になる．
・証明
(背理法)
$ A $ が連結ではないと仮定する．
よって $ X $ の開集合
\begin{equation}
O _ 1,O _ 2 ~\mathrm{s.t.}~ A \subset O _ 1\cup O _ 2 , (O _ 1\cap A) \cap (O _ 2\cap A) =\emptyset,O _ 1\cap A \ne\emptyset , O _ 2\cap A \ne\emptyset
\label{eq:conne}
\end{equation}
が存在する．
$ A \subset O _ 1\cup O _ 2 $ より，
\begin{align}
A _ 1 &\subset O _ 1\cup O _ 2 \label{eq:conA1O1O2}
\\
A _ 2 &\subset O _ 1\cup O _ 2 \label{eq:conA2O1O2}
\end{align}
である．
\begin{align}
\emptyset &= (O _ 1\cap A) \cap (O _ 2\cap A) = O _ 1 \cap O _ 2\cap A = O _ 1 \cap O _ 2\cap(A _ 1 \cup A _ 2)
\\
&= (O _ 1 \cap O _ 2\cap A _ 1) \cup (O _ 1 \cap O _ 2\cap A _ 2)
\end{align}
より，
\begin{align}
(O _ 1\cap A _ 1) \cap (O _ 2\cap A _ 1) =(O _ 1 \cap O _ 2\cap A _ 1) &=\emptyset \label{eq:conO1O2A1}
\\
(O _ 1\cap A _ 2) \cap (O _ 2\cap A _ 2) =(O _ 1 \cap O _ 2\cap A _ 2) &=\emptyset \label{eq:conO1O2A2}
\end{align}
である．
とある点 $ a\in A _ 1 \cap A _ 2 \subset A _ 1 \cup A _ 2 \subset O _ 1\cup O _ 2$ は， $ a\in O _ 1 $ または $ a\in O _ 2 $ である．
(i) $ a\in O _ 1 $ の場合
\begin{align}
O _ 1 \cap A _ 1 &\ne \emptyset \label{eq:con1O1A1}
\\
O _ 1 \cap A _ 2 &\ne \emptyset \label{eq:con1O1A2}
\end{align}
である．
そして， $ O _ 2\cap A \ne\emptyset $ より，
\begin{align}
&O _ 2 \cap A _ 1 \ne \emptyset \label{eq:con1O2A1}
\\
&または \nonumber
\\
&O _ 2 \cap A _ 2 \ne \emptyset \label{eq:con1O2A2}
\end{align}
である．
式\eqref{eq:conA1O1O2},\eqref{eq:conO1O2A1},\eqref{eq:con1O1A1},\eqref{eq:con1O2A1}は $ A _ 1 $ の連結性と矛盾する．
式\eqref{eq:conA2O1O2},\eqref{eq:conO1O2A2},\eqref{eq:con1O1A2},\eqref{eq:con1O2A2}は $ A _ 2 $ の連結性と矛盾する．
(ii) $ a\in O _ 2 $ の場合
\begin{align}
&O _ 2 \cap A _ 1 \ne \emptyset \label{eq:con2O2A1}
\\
&O _ 2 \cap A _ 2 \ne \emptyset \label{eq:con2O2A2}
\end{align}
である．
そして， $ O _ 1\cap A \ne\emptyset $ より，
\begin{align}
&O _ 1 \cap A _ 1 \ne \emptyset \label{eq:con2O1A1}
\\
&または \nonumber
\\
&O _ 1 \cap A _ 2 \ne \emptyset \label{eq:con2O1A2}
\end{align}
である．
式\eqref{eq:conA1O1O2},\eqref{eq:conO1O2A1},\eqref{eq:con2O2A1},\eqref{eq:con2O1A1}は $ A _ 1 $ の連結性と矛盾する．
式\eqref{eq:conA2O1O2},\eqref{eq:conO1O2A2},\eqref{eq:con2O2A2},\eqref{eq:con2O1A2}は $ A _ 2 $ の連結性と矛盾する．
よって， $ A $ は連結である．
行った場合分けについて以下の図にまとめる．
▶TikZコード
\begin{tikzpicture}
[
grow = right,
%sibling distance = 3em, %兄弟(同階層)との距離
level distance = 7em, %別階層との距離
edge from parent/.style = {draw, -latex},
%every node/.style = {font=\footnotesize},
%sloped
]
\node {$ A $が連結と仮定}
child[sibling distance = 5em] { node {$ a \in O_2 $}
child[sibling distance = 2.5em] {node {$ O_1 \cap A_2 \ne \emptyset $}
child[level distance = 9em] {node {$ A_2 $の連結性と矛盾}}
}
child[sibling distance = 2.5em] {node {$ O_1 \cap A_1 \ne \emptyset $}
child[level distance = 9em] {node {$ A_1 $の連結性と矛盾}}
}
}
child[sibling distance = 5em] { node {$ a \in O_1 $}
child[sibling distance = 2.5em] {node {$ O_2 \cap A_2 \ne \emptyset $}
child[level distance = 9em] {node {$ A_2 $の連結性と矛盾}}
}
child[sibling distance = 2.5em] {node {$ O_2 \cap A_1 \ne \emptyset $}
child[level distance = 9em] {node {$ A_1 $の連結性と矛盾}}
}
}
;
\end{tikzpicture}
一般線形群 $ GL _ 2(\mathbb{R)} $ は連結集合ではない．
実数を成分に持つ2次正方行列全体の集合を $ M(2,\mathbb{ R }) $ とする．
$ M(2,\mathbb{ R }) $ の4つの成分を4次元ユークリッド空間 $ \mathbb{ R } ^ 4 $ の成分とみなすことで， $ M(2,\mathbb{ R }) $ に $ \mathbb{ R } ^ 4 $ の通常の位相を考える．
$ GL _ 2(\mathbb{R}) $ を2次正則行列全体の集合としたとき，この集合は $ M(2,\mathbb{ R }) $ の連結集合ではない．
・証明
\begin{align}
GL _ 2(\mathbb{R}) &= \{A\in M(2,\mathbb{ R }) ~|~ \det A \ne 0 \}
\\
&= \{A\in M(2,\mathbb{ R }) ~|~ \det A < 0 \} \cup \{A\in M(2,\mathbb{ R }) ~|~ \det A > 0 \}
\end{align}
と表される．
$ \{A\in M(2,\mathbb{ R }) ~|~ \det A < 0 \} , \{A\in M(2,\mathbb{ R }) ~|~ \det A > 0 \} $ はどちらも空でない開集合である．
(参考
位相空間の開集合・閉集合・連続写像の例題 - 三浦と窮理とブログ)
$ \det : M(2,\mathbb{ R }) \to \mathbb{ R } $ は単射であるから，
\begin{equation}
\{A\in M(2,\mathbb{ R }) ~|~ \det A < 0 \} \cap \{A\in M(2,\mathbb{ R }) ~|~ \det A > 0 \} = \emptyset
\end{equation}
である．
よって， $ GL _ 2(\mathbb{R}) $ は連結集合ではない．
