三浦と窮理とブログ

主に物理学・数学について自分が勉強してきたことについて書いていきます.誰かの役に立ってくれれば嬉しいです.

位相空間論の連結性についての例題

位相空間論の連結性についての例題を解きましたので,解答を載せていきます.

目次

定義

位相空間 $ (X,\mathcal{O}) $ が連結(集合)である.

⇕def

$ X $ の2つの開集合 $ O _ 1,O _ 2 $ が

\begin{equation} O _ 1 \cup O _ 2 =X ~,~ O _ 1 \cap O _ 2 = \emptyset \end{equation}

を満たすのは,

\begin{align} &O _ 1 = X ~,~ O _ 2 = \emptyset \\ &または \nonumber \\ &O _ 1 = \emptyset ~,~ O _ 2 = X \end{align}

のときのみである.(i.e. X全体を,X,∅という組以外の開(閉)集合の組で分離できない.)


$ (X,\mathcal{O}) $ の開かつ閉となる部分集合は $ X,\emptyset $ のみである.


位相空間 $ (X,\mathcal{O}) $ の部分集合 $ A $ が相対位相に対して連結である.

$ O _ 1,O _ 2\in \mathcal{ O } $ が $ A \subset O _ 1 \cup O _ 2 ~,~ (O _ 1\cap A) \cap (O _ 2\cap A) = \emptyset $ を満たすのは,

\begin{align} &O _ 1 \cap A = A ~,~ O _ 2 \cap A = \emptyset \\ &または \nonumber \\ &O _ 1 \cap A = \emptyset ~,~ O _ 2 \cap A = A \end{align}

のときのみである.

連結な5点位相空間の例

5点集合 $ X=\{a,b,c,d,e\} $ に次の位相を与える:

\begin{equation} \mathcal { O } = \{ \emptyset , \{ a \} , \{ c \} , \{ a , c \} , \{ a , d \} , \{ a , c , d \} , X \} \end{equation}

このとき,位相空間 $ (X,\mathcal{O}) $ は連結である.


・証明

$ (X,\mathcal{O}) $ の閉集合全体は

\begin{equation} \{ \emptyset , \{ b,e \} , \{ b,c,e \} , \{ b,d,e \} , \{ a , b,d,e \} , \{ b , c , d,e \} , X \} \end{equation}

である.

よって $ (X,\mathcal{O}) $ の開かつ閉である部分集合は全部で $ \emptyset,X $ であるので, $ (X,\mathcal{O}) $ は連結である.

連結ではない4点位相空間の例

4点集合 $ X=\{a,b,c,d\} $ に次の位相を与える:

\begin{equation} \mathcal { O } = \{ \emptyset , \{ a \} , \{b,d \} , \{ a ,b, d \} , \{ b , c , d \} , X \} \end{equation}

このとき,位相空間 $ (X,\mathcal{O}) $ は連結ではない.


・証明

$ O _ 1 := \{a\} ~,~ O _ 2 := \{b,c,d\}$ とおくと, $ O _ 1 \cup O _ 2 = X ~,~ O _ 1 \cap O _ 2 =\emptyset $ である.

$ O _ 1,O _ 2 $ はいずれも $ X $ でも $ \emptyset $ でもないので $ (X,\mathcal{O}) $ は連結ではない.

互いに交わる2つの連結集合の共通部分が連結集合にならない例

例えば2次元ユークリッド空間 $ \mathbb{R} ^ 2 $ 上で次の図のような連結集合 $ A,B $ を考えると, $ A\cap B $ は連結集合ではない.

f:id:OviskoutaR:20190204081631p:plain:w400

▶TikZコード

互いに交わる2つの連結集合の和集合は連結である.

$ X $ を位相空間とし, $ A _ 1,A _ 2 \subset X $ を2つの連結な部分集合で, $ A _ 1\cap A _ 2 \ne \emptyset $ であるものとする.

このとき,和集合 $ A:= A _ 1 \cup A _ 2 $ は連結になる.


・証明

(背理法)

$ A $ が連結ではないと仮定する.

よって $ X $ の開集合

\begin{equation} O _ 1,O _ 2 ~\mathrm{s.t.}~ A \subset O _ 1\cup O _ 2 , (O _ 1\cap A) \cap (O _ 2\cap A) =\emptyset,O _ 1\cap A \ne\emptyset , O _ 2\cap A \ne\emptyset \label{eq:conne} \end{equation}

が存在する.

$ A \subset O _ 1\cup O _ 2 $ より,

\begin{align} A _ 1 &\subset O _ 1\cup O _ 2 \label{eq:conA1O1O2} \\ A _ 2 &\subset O _ 1\cup O _ 2 \label{eq:conA2O1O2} \end{align}

である.

\begin{align} \emptyset &= (O _ 1\cap A) \cap (O _ 2\cap A) = O _ 1 \cap O _ 2\cap A = O _ 1 \cap O _ 2\cap(A _ 1 \cup A _ 2) \\ &= (O _ 1 \cap O _ 2\cap A _ 1) \cup (O _ 1 \cap O _ 2\cap A _ 2) \end{align}

より,

\begin{align} (O _ 1\cap A _ 1) \cap (O _ 2\cap A _ 1) =(O _ 1 \cap O _ 2\cap A _ 1) &=\emptyset \label{eq:conO1O2A1} \\ (O _ 1\cap A _ 2) \cap (O _ 2\cap A _ 2) =(O _ 1 \cap O _ 2\cap A _ 2) &=\emptyset \label{eq:conO1O2A2} \end{align}

である.

とある点 $ a\in A _ 1 \cap A _ 2 \subset A _ 1 \cup A _ 2 \subset O _ 1\cup O _ 2$ は, $ a\in O _ 1 $ または $ a\in O _ 2 $ である.

(i) $ a\in O _ 1 $ の場合

\begin{align} O _ 1 \cap A _ 1 &\ne \emptyset \label{eq:con1O1A1} \\ O _ 1 \cap A _ 2 &\ne \emptyset \label{eq:con1O1A2} \end{align}

である. そして, $ O _ 2\cap A \ne\emptyset $ より,

\begin{align} &O _ 2 \cap A _ 1 \ne \emptyset \label{eq:con1O2A1} \\ &または \nonumber \\ &O _ 2 \cap A _ 2 \ne \emptyset \label{eq:con1O2A2} \end{align}

である.

式\eqref{eq:conA1O1O2},\eqref{eq:conO1O2A1},\eqref{eq:con1O1A1},\eqref{eq:con1O2A1}は $ A _ 1 $ の連結性と矛盾する.

式\eqref{eq:conA2O1O2},\eqref{eq:conO1O2A2},\eqref{eq:con1O1A2},\eqref{eq:con1O2A2}は $ A _ 2 $ の連結性と矛盾する.

(ii) $ a\in O _ 2 $ の場合

\begin{align} &O _ 2 \cap A _ 1 \ne \emptyset \label{eq:con2O2A1} \\ &O _ 2 \cap A _ 2 \ne \emptyset \label{eq:con2O2A2} \end{align}

である. そして, $ O _ 1\cap A \ne\emptyset $ より,

\begin{align} &O _ 1 \cap A _ 1 \ne \emptyset \label{eq:con2O1A1} \\ &または \nonumber \\ &O _ 1 \cap A _ 2 \ne \emptyset \label{eq:con2O1A2} \end{align}

である.

式\eqref{eq:conA1O1O2},\eqref{eq:conO1O2A1},\eqref{eq:con2O2A1},\eqref{eq:con2O1A1}は $ A _ 1 $ の連結性と矛盾する.

式\eqref{eq:conA2O1O2},\eqref{eq:conO1O2A2},\eqref{eq:con2O2A2},\eqref{eq:con2O1A2}は $ A _ 2 $ の連結性と矛盾する.

よって, $ A $ は連結である.

行った場合分けについて以下の図にまとめる.

f:id:OviskoutaR:20190204120700p:plain:w600

▶TikZコード

一般線形群 $ GL _ 2(\mathbb{R)} $ は連結集合ではない.

実数を成分に持つ2次正方行列全体の集合を $ M(2,\mathbb{ R }) $ とする. $ M(2,\mathbb{ R }) $ の4つの成分を4次元ユークリッド空間 $ \mathbb{ R } ^ 4 $ の成分とみなすことで, $ M(2,\mathbb{ R }) $ に $ \mathbb{ R } ^ 4 $ の通常の位相を考える.

$ GL _ 2(\mathbb{R}) $ を2次正則行列全体の集合としたとき,この集合は $ M(2,\mathbb{ R }) $ の連結集合ではない.


・証明

\begin{align} GL _ 2(\mathbb{R}) &= \{A\in M(2,\mathbb{ R }) ~|~ \det A \ne 0 \} \\ &= \{A\in M(2,\mathbb{ R }) ~|~ \det A < 0 \} \cup \{A\in M(2,\mathbb{ R }) ~|~ \det A > 0 \} \end{align}

と表される.

$ \{A\in M(2,\mathbb{ R }) ~|~ \det A < 0 \} , \{A\in M(2,\mathbb{ R }) ~|~ \det A > 0 \} $ はどちらも空でない開集合である.

(参考 位相空間の開集合・閉集合・連続写像の例題 - 三浦と窮理とブログ)

$ \det : M(2,\mathbb{ R }) \to \mathbb{ R } $ は単射であるから,

\begin{equation} \{A\in M(2,\mathbb{ R }) ~|~ \det A < 0 \} \cap \{A\in M(2,\mathbb{ R }) ~|~ \det A > 0 \} = \emptyset \end{equation}

である.

よって, $ GL _ 2(\mathbb{R}) $ は連結集合ではない.