3次元等方調和振動子の系を角運動量固有状態で表そう．本記事では第1，２励起状態について考える．
3次元等方調和振動子のハミルトニアンは
\begin{equation}
\hat{ H } = \frac { 1 } { 2 m } {\hat{p}_i}^2 + \frac { 1 } { 2 } m \omega ^ { 2 } {\hat{ x }_i} ^ { 2 }
\end{equation}
と表される．
生成消滅演算子による表示
角運動量演算子$ \hat { L } _ { i } = \epsilon _ { i j k } \hat { x } _ { j } \hat { p } _ { k } $は3次元調和振動子の生成消滅演算子
\begin{equation}
\hat { a } _ i ^\dagger = \sqrt { \frac { m \omega } { 2 \hbar } } \left( \hat { x }_i - \frac { i } { m \omega } \hat { p } _ i \right) ~,~
\hat { a } _ i = \sqrt { \frac { m \omega } { 2 \hbar } } \left( \hat { x }_i + \frac { i } { m \omega } \hat { p } _ i \right)
\end{equation}
を用いて
$ \hat { L } _ { i } = i\hbar \epsilon _ { i j k } \hat { a } _ { j } \hat { a } ^ \dagger _ { k }
~,~
\hat{ \boldsymbol{L} } ^ 2 = \hbar ^ 2 [\hat{a} ^ \dagger _ j \hat{a} _ j (\hat{a} ^ \dagger _ k \hat{a} _ k+1) - \hat{a} ^ \dagger _ k \hat{a} ^ \dagger _ k \hat{a} _ j \hat{a} _ j ]$
と表される．
シュウィンガーの振動子モデル
$ \hat { A } _ { \pm } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( \hat { a } _ { x } \pm i \hat { a } _ { y } \right) , \quad \hat { A } _ { 0 } = \hat { a } _ { z } $とすると，これらは
\begin{align}
\hat{a}^\dagger_i \hat{a}_i &= \hat{ A }^\dagger _r \hat{ A }_r
\\
[ \hat { A } _ { r } , \hat { A } _ { s } ] &= [ \hat { A } _ { r } ^ { \dagger } , \hat { A } _ { s } ^ { \dagger } ] = 0 , \quad [ \hat { A } _ { r } , \hat { A } _ { s } ^ { \dagger } ] = \delta _ { r s } \\
r,s = \pm,0
\end{align}
を満たし
▶途中計算
\begin{align}
\hat{ A }^\dagger _r \hat{ A }_r &= \hat{ A }^\dagger _+ \hat{ A }_++\hat{ A }^\dagger _- \hat{ A }_-+\hat{ A }^\dagger _0 \hat{ A }_-
\\
&= \frac{1}{2}( \hat{a}^\dagger_x \hat{a}_x +i \hat{a}^\dagger_x \hat{a}_y - i \hat{a}^\dagger_y \hat{a}_x + \hat{a}^\dagger_y \hat{a})
+ \frac{1}{2}( \hat{a}^\dagger_x \hat{a}_x -i \hat{a}^\dagger_x \hat{a}_y + i \hat{a}^\dagger_y \hat{a}_x + \hat{a}^\dagger_y \hat{a}) + \hat{a}_z^\dagger \hat{a}
\\
&=\hat{a}^\dagger_i \hat{a}_i
\end{align}
，ハミルトニアンと角運動量演算子は
\begin{align}
\hat { H }& = ( \hat { A } _ { + } ^ { \dagger } \hat { A } _ { + } + \hat { A } _ { - } ^ { \dagger } \hat { A } _ { - } + \hat { A } _ { 0 } ^ { \dagger } \hat{ A } _ { 0 } + \frac { 3 } { 2 } ) \hbar \omega \\
\hat{ \boldsymbol{L} }^2 &= \hbar^2 [\hat { A } _ { r } ^ { \dagger } \hat { A } _ { r }(\hat { A } _ { s } ^ { \dagger } \hat { A } _ { s } +1) - (2\hat { A } _ { + } ^ { \dagger } \hat { A }^\dagger _ { - }+{\hat{ A }^{\dagger 2} _0}) (2\hat { A } _ { + } \hat { A } _ { - }+{\hat{ A }_0}^2) ]
\\
\hat{ L }_z &= -\hbar (\hat { A } _ { + } ^ { \dagger } \hat { A } _ { + } - \hat { A } _ { - } ^ { \dagger } \hat { A } _ { - } )
\end{align}
と表される．
$ | n _ { + } n _ { - } n _ { 0 } \rangle := ( \hat { A } _ { + } ^ { \dagger } ) ^ { n _ { + } } ( \hat { A } _ { - } ^ { \dagger } ) ^ { n - } ( \hat { A } _ { 0 } ^ { \dagger } ) ^ { n _ 0 } | 000 \rangle $は，$ \hat{ A }_+ | 0n _ { - } n _ { 0 } \rangle =0 $と定義すれば，
\begin{equation}
\hat{ A }_+ | n _ { + } n _ { - } n _ { 0 } \rangle = n_+| n _ { + }-1, n _ { - } n _ { 0 } \rangle
\end{equation}
であり
▶途中計算
\begin{align}
\hat{ A }_+ | n _ { + } n _ { - } n _ { 0 } \rangle &=
\hat{ A }_+ ( \hat { A } _ { + } ^ { \dagger } ) ^ { n _ { + } } | 0 n _ { - } n _ { 0 } \rangle
= (\hat{ A }^\dagger _+\hat{ A } _+ +1) ( \hat { A } _ { + } ^ { \dagger } ) ^ { n _ { + }-1 } | 0 n _ { - } n _ { 0 } \rangle
\\
&= \cdots
= n_+ ( \hat { A } _ { + } ^ { \dagger } ) ^ { n _ { + }-1 } | 0 n _ { - } n _ { 0 } \rangle
\end{align}
，$ r = -,0 $についても同様に定義する．
次が成り立つ．
\begin{align}
\hat{ A }^\dagger _r \hat{ A }_r | n _ { + } n _ { - } n _ { 0 } \rangle =& n_r| n _ { + } n _ { - } n _ { 0 } \rangle \quad ,~r=\pm,0
\\
\hat{ H } | n _ { + } n _ { - } n _ { 0 } \rangle =& ( n _ { + } + n _ { - } + n _ { 0 } + \frac { 3 } { 2 } ) \hbar \omega | n _ { + } n _ { - } n _ { 0 } \rangle \\
\hat{ \boldsymbol{L} }^2 | n _ { + } n _ { - } n _ { 0 } \rangle =& \hbar^2[(n _ { + } + n _ { - } + n _ { 0 })(n _ { + } + n _ { - } + n _ { 0 }+1) - (4n_+ n_- + {n_0}^2 - n_0)] | n _ { + } n _ { - } n _ { 0 } \rangle
\nonumber
\\
&- 2 \hbar^2n_0(n_0-1)| n _ { + }+1, n _ { - }+1, n _ { 0 }-2 \rangle
- 2 \hbar^2n_+n_-| n _ { + }-1, n _ { - }-1, n _ { 0 }+2 \rangle
\label{eq:64L2}
\\
\hat{ L }_z | n _ { + } n _ { - } n _ { 0 } \rangle =& -\hbar (n _ { + } - n _ { - } ) | n _ { + } n _ { - } n _ { 0 } \rangle
\end{align}
を満たす．よって$ | n _ { + } n _ { - } n _ { 0 } \rangle $は，$ \hat{ H },\hat{ L } _ z$に対してはすべての$ n _ { + }, n _ { - }, n _ { 0 } \ge 0 $において固有状態となり，$ \hat{ \boldsymbol{L} } ^ 2 $に対しては式\eqref{eq:64L2}右辺の第2項と第3項が消える場合，すなわち$ n_0=0,1 $かつ，$ n _ +=0$ または $n _ -=0$の場合に固有状態となる．
角運動量固有値による表示
ここまでが前置きである．さて，角運動量演算子の固有状態$ |lm\rangle $を
\begin{align}
\hat{ \boldsymbol{L} }^2 |lm\rangle &= \hbar^2 l(l+1) |lm\rangle
\\
\hat{L}_z |lm\rangle &= \hbar m |lm\rangle
\end{align}
で定義する．
先ほど定義した，3次元調和振動子の固有状態$ | n _ { + } n _ { - } n _ { 0 } \rangle $の第1励起状態・第2励起状態を$|lm\rangle $を用いて表そう．
第1励起状態
第1励起状態の場合，調和振動子の考えられる固有状態は
\begin{equation}
|100\rangle ~,~ |010\rangle ~,~ |001\rangle
\end{equation}
であり，これらの固有方程式は
\begin{align}
\hat{ \boldsymbol{L} }^2 |100\rangle &= 2\hbar^2 |100\rangle
&
\hat{L}_z |100\rangle &= -\hbar |100\rangle
\\
\hat{ \boldsymbol{L} }^2 |010\rangle &= 2\hbar^2 |010\rangle
&
\hat{L}_z |010\rangle &= \hbar |010\rangle
\\
\hat{ \boldsymbol{L} }^2 |001\rangle &= 2\hbar^2 |001\rangle
&
\hat{L}_z |001\rangle &= 0
\end{align}
である．角運動量固有値の表示でこれらに対応する固有状態は
\begin{equation}
|11 \rangle ~,~ |10\rangle ~,~ |1-1\rangle
\end{equation}
である．なぜなら固有方程式が以下のように同一のものを表すからである．
\begin{align}
\hat{ \boldsymbol{L} }^2 |11\rangle &= 2\hbar^2 |11\rangle
&
\hat{L}_z |11\rangle &= \hbar |11\rangle
\\
\hat{ \boldsymbol{L} }^2 |10\rangle &= 2\hbar^2 |10\rangle
&
\hat{L}_z |10\rangle &= 0
\\
\hat{ \boldsymbol{L} }^2 |1-1\rangle &= 2\hbar^2 |1-1\rangle
&
\hat{L}_z |1-1\rangle &= -\hbar |1-1\rangle
\end{align}
例えば$ |100\rangle $と$ |1-1\rangle $は同一の固有方程式を持つ．すなわちこの2つの固有状態は同一の状態として考えられる．どちらも大きさは規格化されているので考えられるのは位相の違いだけであるが，ここでは同じと仮定する．よって，$ |100\rangle = |1-1\rangle $である．同様に，$ |010\rangle = |11\rangle ~,~ |001\rangle = |10\rangle $である．
第2励起状態
第2励起状態の場合，調和振動子の考えられる状態は
\begin{equation}
|200\rangle ~,~ |020\rangle ~,~ |002\rangle ~,~ |110\rangle ~,~ |101\rangle ~,~ |011\rangle
\end{equation}
であり，その固有方程式は
\begin{align}
\hat{ \boldsymbol{L} }^2 |200\rangle &= 6\hbar^2 |200\rangle
&
\hat{L}_z |200\rangle &= -2\hbar |200\rangle
\\
\hat{ \boldsymbol{L} }^2 |020\rangle &= 6\hbar^2 |020\rangle
&
\hat{L}_z |020\rangle &= 2\hbar |020\rangle
\\
\hat{ \boldsymbol{L} }^2 |002\rangle &= 4\hbar^2 |002\rangle -4\hbar^2 |110\rangle
&
\hat{L}_z |002\rangle &= 0
\label{eq:002}
\\
\hat{ \boldsymbol{L} }^2 |110\rangle &= 2\hbar^2 |110\rangle - 2\hbar^2 |002\rangle
&
\hat{L}_z |100\rangle &= 0
\label{eq:110}
\\
\hat{ \boldsymbol{L} }^2 |101\rangle &= 6\hbar^2 |101\rangle
&
\hat{L}_z |101\rangle &= -\hbar |101\rangle
\\
\hat{ \boldsymbol{L} }^2 |011\rangle &= 6\hbar^2 |011\rangle
&
\hat{L}_z |011\rangle &= \hbar |011\rangle
\end{align}
である．正確には式\eqref{eq:002},\eqref{eq:110}は単体では固有値方程式ではないが，以下のように線形結合で固有値方程式にできる．
\begin{align}
\hat{ \boldsymbol{L} }^2 (|020\rangle + 2|110\rangle) &= 0
&
\hat{L}_z (|020\rangle + 2|110\rangle) &= 0
\\
\hat{ \boldsymbol{L} }^2 (|020\rangle - |110\rangle) &= 6\hbar^2 (|020\rangle - |110\rangle)
&
\hat{L}_z (|020\rangle - |110\rangle) &= 0
\end{align}
角運動量固有値の表示でこれらに対応する固有状態は
\begin{equation}
|00\rangle ~,~ |22 \rangle ~,~ |21\rangle ~,~ |20\rangle ~,~ |2-1 \rangle ~,~ |2-1\rangle
\end{equation}
である．これらの固有方程式は，
\begin{align}
\hat{ \boldsymbol{L} }^2 |00\rangle &=0
&
\hat{L}_z |00\rangle &= 0
\\
\hat{ \boldsymbol{L} }^2 |22\rangle &=6\hbar^2 |22\rangle
&
\hat{L}_z |22\rangle &= 2\hbar |22\rangle
\\
\hat{ \boldsymbol{L} }^2 |21\rangle &= 6\hbar^2 |21\rangle
&
\hat{L}_z |21\rangle &= \hbar|21\rangle
\\
\hat{ \boldsymbol{L} }^2 |20\rangle &= 6\hbar^2 |20\rangle
&
\hat{L}_z |20\rangle &= 0
\\
\hat{ \boldsymbol{L} }^2 |2-1\rangle &=6\hbar^2 |2-1\rangle
&
\hat{L}_z |2-1\rangle &= -\hbar |2-1\rangle
\\
\hat{ \boldsymbol{L} }^2 |2-2\rangle &= 6\hbar^2 |2-2\rangle
&
\hat{L}_z |2-2\rangle &= -2\hbar |2-2\rangle
\end{align}
である．第1励起状態の場合と同様の議論で，
\begin{align}
|200\rangle &= |2-2\rangle
\\
|020\rangle &= |22\rangle
\\
|101\rangle &= |2-1\rangle
\\
|011\rangle &= |21\rangle
\end{align}
であることが言える．$ |020\rangle - |110\rangle $の大きさは$ \sqrt{2} $，$ |020\rangle +2 |110\rangle $の大きさは$ \sqrt{5} $なので，
\begin{align}
|020\rangle - |110\rangle &= \sqrt{2} |20\rangle
\\
|020\rangle + |110\rangle &= \sqrt{5} |00\rangle
\end{align}
が言える．
参考文献
