三浦と窮理とブログ

主に物理学・数学について自分が勉強してきたことについて書いていきます.誰かの役に立ってくれれば嬉しいです.

3次元等方調和振動子系を角運動量固有状態で表す.

3次元等方調和振動子の系を角運動量固有状態で表そう.本記事では第1,2励起状態について考える.

3次元等方調和振動子のハミルトニアンは

\begin{equation} \hat{ H } = \frac { 1 } { 2 m } {\hat{p}_i}^2 + \frac { 1 } { 2 } m \omega ^ { 2 } {\hat{ x }_i} ^ { 2 } \end{equation}

と表される.

生成消滅演算子による表示

角運動量演算子$ \hat { L } _ { i } = \epsilon _ { i j k } \hat { x } _ { j } \hat { p } _ { k } $は3次元調和振動子の生成消滅演算子

\begin{equation} \hat { a } _ i ^\dagger = \sqrt { \frac { m \omega } { 2 \hbar } } \left( \hat { x }_i - \frac { i } { m \omega } \hat { p } _ i \right) ~,~ \hat { a } _ i = \sqrt { \frac { m \omega } { 2 \hbar } } \left( \hat { x }_i + \frac { i } { m \omega } \hat { p } _ i \right) \end{equation}

を用いて $ \hat { L } _ { i } = i\hbar \epsilon _ { i j k } \hat { a } _ { j } \hat { a } ^ \dagger _ { k } ~,~ \hat{ \boldsymbol{L} } ^ 2 = \hbar ^ 2 [\hat{a} ^ \dagger _ j \hat{a} _ j (\hat{a} ^ \dagger _ k \hat{a} _ k+1) - \hat{a} ^ \dagger _ k \hat{a} ^ \dagger _ k \hat{a} _ j \hat{a} _ j ]$ と表される.

シュウィンガーの振動子モデル

$ \hat { A } _ { \pm } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( \hat { a } _ { x } \pm i \hat { a } _ { y } \right) , \quad \hat { A } _ { 0 } = \hat { a } _ { z } $とすると,これらは

\begin{align} \hat{a}^\dagger_i \hat{a}_i &= \hat{ A }^\dagger _r \hat{ A }_r \\ [ \hat { A } _ { r } , \hat { A } _ { s } ] &= [ \hat { A } _ { r } ^ { \dagger } , \hat { A } _ { s } ^ { \dagger } ] = 0 , \quad [ \hat { A } _ { r } , \hat { A } _ { s } ^ { \dagger } ] = \delta _ { r s } \\ r,s = \pm,0 \end{align}

を満たし ▶途中計算

,ハミルトニアンと角運動量演算子は

\begin{align} \hat { H }& = ( \hat { A } _ { + } ^ { \dagger } \hat { A } _ { + } + \hat { A } _ { - } ^ { \dagger } \hat { A } _ { - } + \hat { A } _ { 0 } ^ { \dagger } \hat{ A } _ { 0 } + \frac { 3 } { 2 } ) \hbar \omega \\ \hat{ \boldsymbol{L} }^2 &= \hbar^2 [\hat { A } _ { r } ^ { \dagger } \hat { A } _ { r }(\hat { A } _ { s } ^ { \dagger } \hat { A } _ { s } +1) - (2\hat { A } _ { + } ^ { \dagger } \hat { A }^\dagger _ { - }+{\hat{ A }^{\dagger 2} _0}) (2\hat { A } _ { + } \hat { A } _ { - }+{\hat{ A }_0}^2) ] \\ \hat{ L }_z &= -\hbar (\hat { A } _ { + } ^ { \dagger } \hat { A } _ { + } - \hat { A } _ { - } ^ { \dagger } \hat { A } _ { - } ) \end{align}

と表される.

$ | n _ { + } n _ { - } n _ { 0 } \rangle := ( \hat { A } _ { + } ^ { \dagger } ) ^ { n _ { + } } ( \hat { A } _ { - } ^ { \dagger } ) ^ { n - } ( \hat { A } _ { 0 } ^ { \dagger } ) ^ { n _ 0 } | 000 \rangle $は,$ \hat{ A }_+ | 0n _ { - } n _ { 0 } \rangle =0 $と定義すれば,

\begin{equation} \hat{ A }_+ | n _ { + } n _ { - } n _ { 0 } \rangle = n_+| n _ { + }-1, n _ { - } n _ { 0 } \rangle \end{equation}

であり ▶途中計算

,$ r = -,0 $についても同様に定義する.

次が成り立つ.

\begin{align} \hat{ A }^\dagger _r \hat{ A }_r | n _ { + } n _ { - } n _ { 0 } \rangle =& n_r| n _ { + } n _ { - } n _ { 0 } \rangle \quad ,~r=\pm,0 \\ \hat{ H } | n _ { + } n _ { - } n _ { 0 } \rangle =& ( n _ { + } + n _ { - } + n _ { 0 } + \frac { 3 } { 2 } ) \hbar \omega | n _ { + } n _ { - } n _ { 0 } \rangle \\ \hat{ \boldsymbol{L} }^2 | n _ { + } n _ { - } n _ { 0 } \rangle =& \hbar^2[(n _ { + } + n _ { - } + n _ { 0 })(n _ { + } + n _ { - } + n _ { 0 }+1) - (4n_+ n_- + {n_0}^2 - n_0)] | n _ { + } n _ { - } n _ { 0 } \rangle \nonumber \\ &- 2 \hbar^2n_0(n_0-1)| n _ { + }+1, n _ { - }+1, n _ { 0 }-2 \rangle - 2 \hbar^2n_+n_-| n _ { + }-1, n _ { - }-1, n _ { 0 }+2 \rangle \label{eq:64L2} \\ \hat{ L }_z | n _ { + } n _ { - } n _ { 0 } \rangle =& -\hbar (n _ { + } - n _ { - } ) | n _ { + } n _ { - } n _ { 0 } \rangle \end{align}

を満たす.よって$ | n _ { + } n _ { - } n _ { 0 } \rangle $は,$ \hat{ H },\hat{ L } _ z$に対してはすべての$ n _ { + }, n _ { - }, n _ { 0 } \ge 0 $において固有状態となり,$ \hat{ \boldsymbol{L} } ^ 2 $に対しては式\eqref{eq:64L2}右辺の第2項と第3項が消える場合,すなわち$ n_0=0,1 $かつ,$ n _ +=0$ または $n _ -=0$の場合に固有状態となる.

角運動量固有値による表示

ここまでが前置きである.さて,角運動量演算子の固有状態$ |lm\rangle $を

\begin{align} \hat{ \boldsymbol{L} }^2 |lm\rangle &= \hbar^2 l(l+1) |lm\rangle \\ \hat{L}_z |lm\rangle &= \hbar m |lm\rangle \end{align}

で定義する.

先ほど定義した,3次元調和振動子の固有状態$ | n _ { + } n _ { - } n _ { 0 } \rangle $の第1励起状態・第2励起状態を$|lm\rangle $を用いて表そう.

第1励起状態

第1励起状態の場合,調和振動子の考えられる固有状態は

\begin{equation} |100\rangle ~,~ |010\rangle ~,~ |001\rangle \end{equation}

であり,これらの固有方程式は

\begin{align} \hat{ \boldsymbol{L} }^2 |100\rangle &= 2\hbar^2 |100\rangle & \hat{L}_z |100\rangle &= -\hbar |100\rangle \\ \hat{ \boldsymbol{L} }^2 |010\rangle &= 2\hbar^2 |010\rangle & \hat{L}_z |010\rangle &= \hbar |010\rangle \\ \hat{ \boldsymbol{L} }^2 |001\rangle &= 2\hbar^2 |001\rangle & \hat{L}_z |001\rangle &= 0 \end{align}

である.角運動量固有値の表示でこれらに対応する固有状態は

\begin{equation} |11 \rangle ~,~ |10\rangle ~,~ |1-1\rangle \end{equation}

である.なぜなら固有方程式が以下のように同一のものを表すからである.

\begin{align} \hat{ \boldsymbol{L} }^2 |11\rangle &= 2\hbar^2 |11\rangle & \hat{L}_z |11\rangle &= \hbar |11\rangle \\ \hat{ \boldsymbol{L} }^2 |10\rangle &= 2\hbar^2 |10\rangle & \hat{L}_z |10\rangle &= 0 \\ \hat{ \boldsymbol{L} }^2 |1-1\rangle &= 2\hbar^2 |1-1\rangle & \hat{L}_z |1-1\rangle &= -\hbar |1-1\rangle \end{align}

例えば$ |100\rangle $と$ |1-1\rangle $は同一の固有方程式を持つ.すなわちこの2つの固有状態は同一の状態として考えられる.どちらも大きさは規格化されているので考えられるのは位相の違いだけであるが,ここでは同じと仮定する.よって,$ |100\rangle = |1-1\rangle $である.同様に,$ |010\rangle = |11\rangle ~,~ |001\rangle = |10\rangle $である.

第2励起状態

第2励起状態の場合,調和振動子の考えられる状態は

\begin{equation} |200\rangle ~,~ |020\rangle ~,~ |002\rangle ~,~ |110\rangle ~,~ |101\rangle ~,~ |011\rangle \end{equation}

であり,その固有方程式は

\begin{align} \hat{ \boldsymbol{L} }^2 |200\rangle &= 6\hbar^2 |200\rangle & \hat{L}_z |200\rangle &= -2\hbar |200\rangle \\ \hat{ \boldsymbol{L} }^2 |020\rangle &= 6\hbar^2 |020\rangle & \hat{L}_z |020\rangle &= 2\hbar |020\rangle \\ \hat{ \boldsymbol{L} }^2 |002\rangle &= 4\hbar^2 |002\rangle -4\hbar^2 |110\rangle & \hat{L}_z |002\rangle &= 0 \label{eq:002} \\ \hat{ \boldsymbol{L} }^2 |110\rangle &= 2\hbar^2 |110\rangle - 2\hbar^2 |002\rangle & \hat{L}_z |100\rangle &= 0 \label{eq:110} \\ \hat{ \boldsymbol{L} }^2 |101\rangle &= 6\hbar^2 |101\rangle & \hat{L}_z |101\rangle &= -\hbar |101\rangle \\ \hat{ \boldsymbol{L} }^2 |011\rangle &= 6\hbar^2 |011\rangle & \hat{L}_z |011\rangle &= \hbar |011\rangle \end{align}

である.正確には式\eqref{eq:002},\eqref{eq:110}は単体では固有値方程式ではないが,以下のように線形結合で固有値方程式にできる.

\begin{align} \hat{ \boldsymbol{L} }^2 (|020\rangle + 2|110\rangle) &= 0 & \hat{L}_z (|020\rangle + 2|110\rangle) &= 0 \\ \hat{ \boldsymbol{L} }^2 (|020\rangle - |110\rangle) &= 6\hbar^2 (|020\rangle - |110\rangle) & \hat{L}_z (|020\rangle - |110\rangle) &= 0 \end{align}

角運動量固有値の表示でこれらに対応する固有状態は

\begin{equation} |00\rangle ~,~ |22 \rangle ~,~ |21\rangle ~,~ |20\rangle ~,~ |2-1 \rangle ~,~ |2-1\rangle \end{equation}

である.これらの固有方程式は,

\begin{align} \hat{ \boldsymbol{L} }^2 |00\rangle &=0 & \hat{L}_z |00\rangle &= 0 \\ \hat{ \boldsymbol{L} }^2 |22\rangle &=6\hbar^2 |22\rangle & \hat{L}_z |22\rangle &= 2\hbar |22\rangle \\ \hat{ \boldsymbol{L} }^2 |21\rangle &= 6\hbar^2 |21\rangle & \hat{L}_z |21\rangle &= \hbar|21\rangle \\ \hat{ \boldsymbol{L} }^2 |20\rangle &= 6\hbar^2 |20\rangle & \hat{L}_z |20\rangle &= 0 \\ \hat{ \boldsymbol{L} }^2 |2-1\rangle &=6\hbar^2 |2-1\rangle & \hat{L}_z |2-1\rangle &= -\hbar |2-1\rangle \\ \hat{ \boldsymbol{L} }^2 |2-2\rangle &= 6\hbar^2 |2-2\rangle & \hat{L}_z |2-2\rangle &= -2\hbar |2-2\rangle \end{align}

である.第1励起状態の場合と同様の議論で,

\begin{align} |200\rangle &= |2-2\rangle \\ |020\rangle &= |22\rangle \\ |101\rangle &= |2-1\rangle \\ |011\rangle &= |21\rangle \end{align}

であることが言える.$ |020\rangle - |110\rangle $の大きさは$ \sqrt{2} $,$ |020\rangle +2 |110\rangle $の大きさは$ \sqrt{5} $なので,

\begin{align} |020\rangle - |110\rangle &= \sqrt{2} |20\rangle \\ |020\rangle + |110\rangle &= \sqrt{5} |00\rangle \end{align}

が言える.

参考文献

現代の量子力学(上) 第2版 (物理学叢書)

現代の量子力学(上) 第2版 (物理学叢書)

  • 作者: J.J.サクライ,J.ナポリターノ,J.J. Sakurai,Jim Napolitano,桜井明夫
  • 出版社/メーカー: 吉岡書店
  • 発売日: 2014/04/10
  • メディア: 単行本
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