三浦と窮理とブログ

主に物理学・数学について自分が勉強してきたことについて書いていきます.誰かの役に立ってくれれば嬉しいです.

コーシー積の公式の足し上げのイメージ

2つの無限複素級数 $ \sum _ {i=0} ^ \infty a _ i $ および $ \sum _ {i=0} ^ \infty b _ i $ に対し,

\begin{equation} \left (\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}\right )\left (\sum _{j=0}^{\infty }b_{j}\right )=\sum _{k=0}^{\infty }\sum _{l=0}^{k}a_{l}b_{k-l} \end{equation}

という式が成り立ち,この右辺をコーシー積という.

この公式は $ a _ i b _ j $ の足し上げを異なる方法で行っただけである.$ ij $ 格子平面上の値 $ a_i b_j $ を考えた時,左辺の和は四角く足していくイメージ,右辺の和は3角形で足していくイメージである.無限和をとらないと成り立たない.

細かな定義や成り立つための注意点などはコーシー積 - Wikipedia が十分詳しいと思うが,もう少し計算式を細かく書き下すと足し上げ方のイメージが自分の中で確実になったのでそれを共有したいと思う.

公式の書き下し.

\begin{align} \left (\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}\right )\left (\sum _{j=0}^{\infty }b_{j}\right ) &=(a_0+a_1+a_2+a_3+\cdots)(b_0+b_1+b_2+b_3+\cdots) \\ &=\phantom{+} a_0 b_0 + a_0 b_1 + a_0 b_2 + a_0 b_3 +a_0 b_4 + \cdots \\ &\phantom{=}+ a_1 b_0 + a_1 b_1 + a_1 b_2 + a_1 b_3 +a_1 b_4 + \cdots \\ &\phantom{=}+ a_2 b_0 + a_2 b_1 + a_2 b_2 + a_2 b_3 +a_2 b_4 + \cdots \\ &\phantom{=}+ a_3 b_0 + a_3 b_1 + a_3 b_2 + a_3 b_3 +a_3 b_4 + \cdots \\ &\phantom{=}+ a_4 b_0 + a_4 b_1 + a_4 b_2 + a_4 b_3 +a_4 b_4 + \cdots \\ &\phantom{=}\quad \vdots \\ &= \\ &\quad \begin{array}{cc} &a_0 b_0 \\ +&a_0 b_1 +a_1 b_0 \\ +&a_0 b_2+a_1 b_1+a_2 b_0 \\ +& a_0 b_3+ a_1 b_2 +a_2 b_1 + a_3 b_0 \\ +& a_0 b_4 + a_1 b_3 + a_2 b_2 + a_3 b_1 + a_4 b_0 \\ +& \vdots \end{array} \\ &= \sum _{k=0}^{\infty } (a_0 b_k + a_1 b_{k-1} + a_2 b_{k-2} +\cdots + a_k b_0) \\ &=\sum _{k=0}^{\infty }\sum _{l=0}^{k}a_{l}b_{k-l} \end{align}