2つの無限複素級数 $ \sum _ {i=0} ^ \infty a _ i $ および $ \sum _ {i=0} ^ \infty b _ i $ に対し，
\begin{equation}
\left (\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}\right )\left (\sum _{j=0}^{\infty }b_{j}\right )=\sum _{k=0}^{\infty }\sum _{l=0}^{k}a_{l}b_{k-l}
\end{equation}
という式が成り立ち，この右辺をコーシー積という．
この公式は $ a _ i b _ j $ の足し上げを異なる方法で行っただけである．$ ij $ 格子平面上の値 $ a_i b_j $ を考えた時，左辺の和は四角く足していくイメージ，右辺の和は3角形で足していくイメージである．無限和をとらないと成り立たない．
細かな定義や成り立つための注意点などはコーシー積 - Wikipedia が十分詳しいと思うが，もう少し計算式を細かく書き下すと足し上げ方のイメージが自分の中で確実になったのでそれを共有したいと思う．
公式の書き下し．
\begin{align}
\left (\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}\right )\left (\sum _{j=0}^{\infty }b_{j}\right )
&=(a_0+a_1+a_2+a_3+\cdots)(b_0+b_1+b_2+b_3+\cdots)
\\
&=\phantom{+} a_0 b_0 + a_0 b_1 + a_0 b_2 + a_0 b_3 +a_0 b_4 + \cdots
\\
&\phantom{=}+ a_1 b_0 + a_1 b_1 + a_1 b_2 + a_1 b_3 +a_1 b_4 + \cdots
\\
&\phantom{=}+ a_2 b_0 + a_2 b_1 + a_2 b_2 + a_2 b_3 +a_2 b_4 + \cdots
\\
&\phantom{=}+ a_3 b_0 + a_3 b_1 + a_3 b_2 + a_3 b_3 +a_3 b_4 + \cdots
\\
&\phantom{=}+ a_4 b_0 + a_4 b_1 + a_4 b_2 + a_4 b_3 +a_4 b_4 + \cdots
\\
&\phantom{=}\quad \vdots
\\
&=
\\
&\quad
\begin{array}{cc}
&a_0 b_0 \\
+&a_0 b_1 +a_1 b_0 \\
+&a_0 b_2+a_1 b_1+a_2 b_0 \\
+& a_0 b_3+ a_1 b_2 +a_2 b_1 + a_3 b_0 \\
+& a_0 b_4 + a_1 b_3 + a_2 b_2 + a_3 b_1 + a_4 b_0 \\
+& \vdots
\end{array}
\\
&= \sum _{k=0}^{\infty } (a_0 b_k + a_1 b_{k-1} + a_2 b_{k-2} +\cdots + a_k b_0)
\\
&=\sum _{k=0}^{\infty }\sum _{l=0}^{k}a_{l}b_{k-l}
\end{align}
