三浦と窮理とブログ

主に物理学・数学について自分が勉強してきたことについて書いていきます.誰かの役に立ってくれれば嬉しいです.

角運動量演算子と昇降演算子

角運動量演算子 $ \hat{\boldsymbol{L}}^2, \hat{L} _ z $ の固有状態 $ |l,m\rangle $ は

\begin{align} \hat{\boldsymbol { L }} ^ { 2 } | l , m \rangle &= \hbar ^ { 2 } l ( l + 1 ) | l , m \rangle \\ \hat{L} _ { z } | l , m \rangle &= \hbar m | l , m \rangle \end{align}

を満たす. l = 0 , 1/2 , 1, 3/2 , ... . -l ≤ m ≤ l .

昇降演算子 $ \hat{L} _ { \pm } = \hat{L} _ { x } \pm i \hat{L} _ { y } $ に対し次が成り立つ.

\begin{align} [\hat{L} _ { \pm },\hat{L} _ { z }] &= \mp \hbar \hat{L}_\pm \\ \hat{L} _ { \pm } | l , m \rangle &\propto | l , m \pm 1 \rangle\label{eq:prop} \\ \hat{L} _ { \pm } \hat{L} _ { \mp } &= \hat{\boldsymbol { L }} ^ { 2 } - \hat{L} _ { z } ^ { 2 } \pm \hbar \hat{L} _ { z } \\ \hat{L} _ { \pm } | l , m \rangle &= \hbar \sqrt { ( l \mp m ) ( l \pm m + 1 ) } | l , m \pm 1 \rangle \end{align}

複号同順.

導出

\begin{equation} [\hat{L} _ { \pm },\hat{L} _ { z }] = [\hat{L} _ x,\hat{L} _ { z }] \pm i [\hat{L} _ y,\hat{L} _ { z }] = - i\hbar \hat{L}_y \underbrace{\pm i i}_{=\mp}\hbar \hat{L}_x = \mp \hbar (\hat{L}_x \pm i \hat{L}_y) = \mp \hbar \hat{L}_\pm \end{equation}

角運動量演算子の交換関係については次の記事で紹介している.

角運動量演算子の交換関係の公式の導出 - 三浦と窮理とブログ


式\eqref{eq:prop}を示すには,

\begin{align} \hat{\boldsymbol { L }} ^ { 2 }(\hat{L} _ { \pm } | l , m \rangle ) &= \hbar ^ { 2 } l ( l + 1 ) (\hat{L} _ { \pm } | l , m \rangle ) \label{eq:L2} \\ \hat{L} _ { z } (\hat{L} _ { \pm } | l , m \rangle ) &= \hbar (m\pm 1) (\hat{L} _ { \pm } | l , m \rangle ) \label{eq:Lz} \end{align}

を示せばよい.$ \hat{\boldsymbol { L }} ^ { 2 } $ と $ \hat{L} _ i $ は可換なので式\eqref{eq:L2}はOK.

式\eqref{eq:Lz}は

\begin{equation} \hat{L} _ { z } (\hat{L} _ { \pm } | l , m \rangle ) = (\hat{L} _ { z } \hat{L} _ { \pm }) | l , m \rangle = (\hat{L} _ { \pm }\hat{L} _ { z } - \underbrace{[\hat{L} _ { \pm },\hat{L} _ { z }]}_{=\mp \hbar \hat{L}_\pm } ) | l , m \rangle = \hbar (m\pm 1) (\hat{L} _ { \pm } | l , m \rangle ) \end{equation}

\begin{align} \hat{L} _ { \pm } \hat{L} _ { \mp } &= (\hat{L} _ { x } \pm i \hat{L} _ { y }) (\hat{L} _ { x } \mp i \hat{L} _ { y }) = {\hat{L} _ { x }}^2 \underbrace{\mp i \hat{L} _ { x }\hat{L} _ { y } \pm i\hat{L} _ { y }\hat{L} _ { x }}_{=\mp i\underbrace{[\hat{L} _ { x },\hat{L} _ { y }]}_{=i\hbar \hat{L}_z} } +{ \hat{L} _ { y }}^2 = {\hat{L} _ { x }}^2 +{ \hat{L} _ { y }}^2 +{ \hat{L} _ { z }}^2 - \hat{L} _ { z } ^ { 2 } \pm \hbar \hat{L} _ { z } \\ &= \hat{\boldsymbol { L }} ^ { 2 } - \hat{L} _ { z } ^ { 2 } \pm \hbar \hat{L} _ { z } \end{align}

式\eqref{eq:prop}より定数 c± を用いて, $ \hat{L} _ { \pm } | l , m \rangle = c _ \pm | l , m \pm 1 \rangle $ と表すことができる.両辺の内積をとると,

\begin{align} \langle l , m |\underbrace{{\hat{L} _ { \pm }}^\dagger}_{=\hat{L} _ { \mp }} \hat{L} _ { \pm } | l , m \rangle &= |c_\pm|^2 \underbrace{\langle l , m \pm 1 | l , m \pm 1 \rangle}_{=1} \\ (左辺) &= \langle l , m |(\hat{\boldsymbol { L }} ^ { 2 } - \hat{L} _ { z } ^ { 2 } \mp \hbar \hat{L} _ { z } )| l , m \rangle = (\hbar ^ { 2 } l ( l + 1 ) - \hbar^2 m^2 \mp \hbar^2 m ) \underbrace{\langle l , m| l , m \rangle}_{=1}\\ &= \hbar ^ { 2 }( l^2 - (\mp m)^2 + l \mp m ) = \hbar ^ { 2 }( (l\mp m)(l \pm m) +l\mp m ) = \hbar ^ { 2 }(l\mp m) (l \pm m +1 ) \end{align}

よって

\begin{equation} |c_\pm|^2 = \hbar ^ { 2 }(l\mp m) (l \pm m +1 ) \end{equation}

である.l ≥ 0 , -l ≤ m ≤ l なので l±m ≥ 0 である.よって,

\begin{equation} c_\pm = \hbar \sqrt { ( l \mp m ) ( l \pm m + 1 ) } \end{equation}