角運動量演算子 $ \hat{\boldsymbol{L}}^2, \hat{L} _ z $ の固有状態 $ |l,m\rangle $ は
\begin{align}
\hat{\boldsymbol { L }} ^ { 2 } | l , m \rangle &= \hbar ^ { 2 } l ( l + 1 ) | l , m \rangle \\
\hat{L} _ { z } | l , m \rangle &= \hbar m | l , m \rangle
\end{align}
を満たす． l = 0 , 1/2 , 1, 3/2 , ... ． -l ≤ m ≤ l ．
昇降演算子 $ \hat{L} _ { \pm } = \hat{L} _ { x } \pm i \hat{L} _ { y } $ に対し次が成り立つ．
\begin{align}
[\hat{L} _ { \pm },\hat{L} _ { z }] &= \mp \hbar \hat{L}_\pm \\
\hat{L} _ { \pm } | l , m \rangle &\propto | l , m \pm 1 \rangle\label{eq:prop}
\\
\hat{L} _ { \pm } \hat{L} _ { \mp } &= \hat{\boldsymbol { L }} ^ { 2 } - \hat{L} _ { z } ^ { 2 } \pm \hbar \hat{L} _ { z }
\\
\hat{L} _ { \pm } | l , m \rangle &= \hbar \sqrt { ( l \mp m ) ( l \pm m + 1 ) } | l , m \pm 1 \rangle
\end{align}
複号同順．
導出
\begin{equation}
[\hat{L} _ { \pm },\hat{L} _ { z }]
= [\hat{L} _ x,\hat{L} _ { z }] \pm i [\hat{L} _ y,\hat{L} _ { z }]
= - i\hbar \hat{L}_y \underbrace{\pm i i}_{=\mp}\hbar \hat{L}_x
= \mp \hbar (\hat{L}_x \pm i \hat{L}_y)
= \mp \hbar \hat{L}_\pm
\end{equation}
角運動量演算子の交換関係については次の記事で紹介している．
角運動量演算子の交換関係の公式の導出 - 三浦と窮理とブログ
式\eqref{eq:prop}を示すには，
\begin{align}
\hat{\boldsymbol { L }} ^ { 2 }(\hat{L} _ { \pm } | l , m \rangle )
&= \hbar ^ { 2 } l ( l + 1 ) (\hat{L} _ { \pm } | l , m \rangle ) \label{eq:L2}
\\
\hat{L} _ { z } (\hat{L} _ { \pm } | l , m \rangle ) &= \hbar (m\pm 1) (\hat{L} _ { \pm } | l , m \rangle ) \label{eq:Lz}
\end{align}
を示せばよい．$ \hat{\boldsymbol { L }} ^ { 2 } $ と $ \hat{L} _ i $ は可換なので式\eqref{eq:L2}はOK.
式\eqref{eq:Lz}は
\begin{equation}
\hat{L} _ { z } (\hat{L} _ { \pm } | l , m \rangle )
= (\hat{L} _ { z } \hat{L} _ { \pm }) | l , m \rangle
= (\hat{L} _ { \pm }\hat{L} _ { z } - \underbrace{[\hat{L} _ { \pm },\hat{L} _ { z }]}_{=\mp \hbar \hat{L}_\pm } ) | l , m \rangle
= \hbar (m\pm 1) (\hat{L} _ { \pm } | l , m \rangle )
\end{equation}
\begin{align}
\hat{L} _ { \pm } \hat{L} _ { \mp }
&= (\hat{L} _ { x } \pm i \hat{L} _ { y }) (\hat{L} _ { x } \mp i \hat{L} _ { y })
= {\hat{L} _ { x }}^2 \underbrace{\mp i \hat{L} _ { x }\hat{L} _ { y } \pm i\hat{L} _ { y }\hat{L} _ { x }}_{=\mp i\underbrace{[\hat{L} _ { x },\hat{L} _ { y }]}_{=i\hbar \hat{L}_z} } +{ \hat{L} _ { y }}^2
= {\hat{L} _ { x }}^2 +{ \hat{L} _ { y }}^2 +{ \hat{L} _ { z }}^2 - \hat{L} _ { z } ^ { 2 } \pm \hbar \hat{L} _ { z }
\\
&= \hat{\boldsymbol { L }} ^ { 2 } - \hat{L} _ { z } ^ { 2 } \pm \hbar \hat{L} _ { z }
\end{align}
式\eqref{eq:prop}より定数 c± を用いて， $ \hat{L} _ { \pm } | l , m \rangle = c _ \pm | l , m \pm 1 \rangle $ と表すことができる．両辺の内積をとると，
\begin{align}
\langle l , m |\underbrace{{\hat{L} _ { \pm }}^\dagger}_{=\hat{L} _ { \mp }} \hat{L} _ { \pm } | l , m \rangle &= |c_\pm|^2 \underbrace{\langle l , m \pm 1 | l , m \pm 1 \rangle}_{=1} \\
(左辺) &= \langle l , m |(\hat{\boldsymbol { L }} ^ { 2 } - \hat{L} _ { z } ^ { 2 } \mp \hbar \hat{L} _ { z } )| l , m \rangle
= (\hbar ^ { 2 } l ( l + 1 ) - \hbar^2 m^2 \mp \hbar^2 m ) \underbrace{\langle l , m| l , m \rangle}_{=1}\\
&= \hbar ^ { 2 }( l^2 - (\mp m)^2 + l \mp m )
= \hbar ^ { 2 }( (l\mp m)(l \pm m) +l\mp m )
= \hbar ^ { 2 }(l\mp m) (l \pm m +1 )
\end{align}
よって
\begin{equation}
|c_\pm|^2 = \hbar ^ { 2 }(l\mp m) (l \pm m +1 )
\end{equation}
である．l ≥ 0 , -l ≤ m ≤ l なので l±m ≥ 0 である．よって，
\begin{equation}
c_\pm = \hbar \sqrt { ( l \mp m ) ( l \pm m + 1 ) }
\end{equation}
