三浦と窮理とブログ

主に物理学・数学について自分が勉強してきたことについて書いていきます.誰かの役に立ってくれれば嬉しいです.

ユークリッド距離空間の開集合についての例題

ユークリッド距離空間の開集合について示す問題を解いたので共有します.よかったら図もみてください.Tikzのコードも載せてます.

目次

定義

$ n $ 次元ユークリッド空間を $ \mathbb{ R } ^ n $ と表す.

$ \mathbb{ R } ^ n $ の2点 $ x (x _ 1,\cdots,x _ n) , y =(y _ 1 ,\cdots, y _ n) $ の間の距離を $ d^{(n)}(x,y) = \sqrt{(y _ 1 -x _ 1) ^ 2 + \cdots+(y _ n- x _ n) ^ 2} $ で定義する.

点 $ a \in \mathbb{ R } ^ n $ を中心とした半径 $ \epsilon>0 $ の開球体を $ B _ n (a,\epsilon) = \{x \in \mathbb{ R } ^n | d^{(n)}(a,x) <\epsilon\} $ で定義する.

$ O \subset \mathbb{ R } ^ n $ が開集合である. $\overset{\mathrm{def}}{\Leftrightarrow} { ^ \forall x} \in O , ^ \exists \epsilon >0 $ s.t. $ B _ n (x;\epsilon) \subset O $ .

正方形領域$ S = \{( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) \in \mathbb { R } ^ { 2 } | | x _ { 1 } | < 3 , | x _ { 2 } | < 3 \} \subset \mathbb { R } ^ { 2 } $ は開集合である

・証明

任意の $ a = (a _ 1, a _ 2) \in S $ に対して,正の数 $ \epsilon \in \mathbb{ R } $ を $ \epsilon < \min\{3- |a _ 1| , 3- |a _ 2|\}$ ととると, $ B _ 2 (a;\epsilon) \subset S $ となる.

実際に,任意の $ x = (x _ 1,x _ 2) \in B _ 2 (a;\epsilon) $ に対して,

\begin{align} \epsilon &> \sqrt{(x_1-a_1)^2 + (x_2-a_2)^2} \ge \sqrt{(x_1-a_1)^2} = |x_a -a_1| \ge |x_1| - |a_1| \\ \Leftrightarrow\quad |x_1| &< \epsilon + |a_1| < 3- \cancel{|a _ 1| }+ \cancel{|a_1| } \end{align}

である.同様にして $ |x _ 2| < 3 $ なので $ x \in S $ である.つまり,$ B _ 2 (a;\epsilon) \subset S $ である.

以上により $ S $ は $ \mathbb { R } ^ { 2 } $ の開集合である.

f:id:OviskoutaR:20181222012024p:plain:w300

▶Tikzコード

開球 $ B _ n(p;r) $ は開集合である

任意の $ a \in B _ n(p;r) $ に対して,正の数 $ \epsilon $ を $ \epsilon < r- d ^ {(n)}(a,p) $ ととると $ B _ n(a;\epsilon) \subset B _ n (p;r) $ である. 実際,任意の $ x = (x _ 1,x _ 2, \cdots, x _ n) \in B _ n(a;\epsilon) $ に対し,

\begin{equation} d ^ {(n)} (x,p) \le \underbrace{d ^ {(n)}(x,a)} _ {<\epsilon} + \underbrace{d ^ {(n)}(a,p)} _ {< r-\epsilon} < r \end{equation}

より,$ x \in B _ n (p;r) $ である.よって $ B _ n(a;\epsilon) \subset B _ n (p;r) $ である.

以上より $ B _ n(p;r) $ は開集合であることが言えた.

f:id:OviskoutaR:20190101014357p:plain:w300

▶Tikzコード

1点集合は開集合ではない

任意の数 $ \epsilon >0 $ に対して,$ B _ n(p;\epsilon) \nsubseteq \{p\}$ であることを示す.

$ p = (p _ 1,p _ 2,\cdots,p _ n) , q= (p _ 1 + \epsilon/2 ,p _ 2,\cdots,p _ n)$とする. この $ q $ は $ d(p,q) = \epsilon/2 $ より $ q \in B _ n (p;\epsilon) $ であるが,$ q \notin \{p\} $ である. よって $ B _ n(p;\epsilon) \nsubseteq \{p\}$ である.

任意の開集合の和集合は開集合である

$ \mathbb{ R } ^ n $ の開集合全体の成す集合を $ \mathcal{O}(\mathbb{ R } ^ n) $ としたとき, $ \mathcal{O}(\mathbb{ R } ^ n) $ の元からなる任意の集合族 $ \{O _ \lambda\} _ {\lambda \in \Lambda} $ に対して, $ \displaystyle \bigcup _ { \lambda \in \Lambda } O _ { \lambda } \in \mathcal { O } ( \mathbb { R } ^ { n } ) $ である.

・証明

$ O := \displaystyle \bigcup _ { \lambda \in \Lambda } O _ { \lambda } $ と表すとする.

任意の点 $\displaystyle a \in O $ は,$ \{O _ \lambda\} _ {\lambda\in \Lambda} $ の元の中の少なくとも1つに含まれる. その元の一つを $ O _ {\lambda'} $ と表すとする(i.e. $ \lambda'\in \Lambda ,a\in O _ {\lambda'} $). $ O _ {\lambda'} $ は開集合なので,$ B _ n(a;\epsilon) \subset O _ {\lambda'} $ となる $ \epsilon>0 $ が存在する. $ B _ n(a;\epsilon) \subset O _ {\lambda'} \subset O $ なので $ O $ が開集合であることが示された.

f:id:OviskoutaR:20181222013901p:plain:w300

▶Tikzコード

$ A = \{ ( x , y ) \in \mathbb { R} ^ 2 | y > x \} $ は開集合である

任意の点 $ a = (a _ x,a _ y) \in A $ と直線 $ y=x $ の距離は $ \displaystyle \frac{a _ y -a _ x}{\sqrt{2}} $ である. よって $ \displaystyle \epsilon < \frac{a _ y -a _ x}{\sqrt{2}} $ となる数 $ \epsilon >0 $ をとると,$ B _ 2 (a;\epsilon) \subset A $ となるから $ A $ は開集合であることが言える.

実際,任意の点 $ b = (b _ x,b _ y) \in B _ 2 (a;\epsilon) $ に対して,これを$ r = d ^ {(2)}(a,b) <\epsilon , \tan\theta = \frac{a _ y - b _ y}{a _ x - b _ x} $ という極座標 $ (r,\theta) $ を用いて表すと,

\begin{align} b _ y - b _ x &= (a _ y + r\sin\theta) - (a _ x+r\cos\theta ) = a _ y -a _ x +r(\sin\theta- \cos\theta) \\ &= a _ y -a _ x +r\sqrt{2}\underbrace{\sin(\theta- \frac{3}{4}\pi)} _ {\ge -1} > a _ y -a _ x -\epsilon\sqrt{2} >0 \end{align}

となる.よって $ b \in A $ である.よって $ B _ 2 (a;\epsilon) \subset A $ である.

f:id:OviskoutaR:20181222014009p:plain:w300

▶Tikzコード