哲数物を学ぶ

自然科学のことや自分の経験や考えたことについて書いていきます.誰かの役に立てれば幸いです.

ポテンシャルの存在しない空間における1次元自由粒子のシュレディンガー方程式

ポテンシャルの存在しない ( V(x,t) = 0 ) 空間における1次元自由粒子について考える. 目次 シュレディンガー方程式の変数分離 定常解 確率密度と確率流密度 分散関係 シュレディンガー方程式の変数分離 V = 0 のときのシュレディンガー方程式は \begin{equ…

運動量演算子の固有関数の正規直交性と完全性

運動量演算子 $-i\hbar \frac{d}{dx}$ の性質を述べる. 目次 固有値方程式と固有関数 離散固有値 直交性 完全性 固有値方程式と固有関数 k を任意の定数として,微分方程式 \begin{equation} -i\hbar \frac{d \psi(x)}{dx} = \hbar k \psi (x) \end{equatio…

ポテンシャル V 中の粒子の確率密度に関する連続の式(微分形・積分形)の導出と確率密度・確率流密度の物理的意味

目次 問題 (a)の解答 (b)の解答 (c)の解答 問題 ポテンシャル V(r , t) 中の粒子の状態を記述するシュレーディンガー方程式を \[i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \psi (\boldsymbol{r},t) = \left(-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V(\boldsymbol{r},t) \rig…

beamerで水平線に色を付けるためxcolorパッケージのオプションを指定しようとしたがbeamerと競合したので気をつけよう

経緯と問題 beamer を使ってポスターを作っているとき,\hruleで引く水平線に色を付けたいと思った. そこで調べると,xcolorパッケージでオプションを選ぶと指定できる色の種類が増えることを知った.*1 そこでプリアンブルに\usepackage[x11names]{xcolor}…

水素原子の基底状態のエネルギーと半径の長さの古典的概算

問題 水素原子が半径 $r_0$ の球と考える.電子の位置の不確定さが $r_0$ 程度で,$r_0$ と運動量の不確かさ $p_0$ の積 $r_0 p_0$ が最小になる基底状態を考えると、不確定性原理より運動量の不確定さは $\hbar / r_0$ 程度ということになる.電子の持つエ…

1000ボルトで加速した電子の位置と運動量の測定不確定性

問題 1000ボルトで加速した電子の位置 x と運動量 p を,同時に測定することを考える.位置の精度を 10-10 m で測定できたならば,運動量成分は何パーセント程度の測定となるか. 解答 電子の持つエネルギーは eV [J] である.(e:電荷素量.V = 1000) ポ…

ガウス波束の運動量表示とその不確定性

問題 ガウス波束の不確定性(位置と運動量のゆらぎの積)の計算 - 哲数物を学ぶ 上の記事の問題の設定において,運動量の確率密度を求め,図示せよ.位置と運動量の確率密度の幅から,不確定性関係を考察せよ. 解答 運動量固有状態の位置表示波動関数 \[p(x…

ガウス波束の不確定性(位置と運動量のゆらぎの積)の計算

目次 問題 (a) の解答 (b) の解答 (c) の解答 問題 1次元の自由な空間で,つぎの波動関数(波束)が定義されているとする. \[\psi (x) = A \exp [- \frac{x^2}{2\sigma^2} + ikx ] \] (a) この波動関数における位置の確率密度を求め,全空間で積分した結果が …

「準同型写像 f が単射である」ことと「 Ker f = {0} 」は同値であることの証明

2つの群 X,Y について, 準同型写像 f : X → Y は単射 ⇔ Ker f = {0} (0 は 単位元) を示そう. 目次 f は単射 ⇒ Ker f = {0} の証明 Ker f = {0} ⇒ f は単射 の証明 f は単射 ⇒ Ker f = {0} の証明 f の準同型性より,∀x ∈ X に対し,f(x) = f(x+0) = f…

相加・相乗平均の不等式はグラフも一緒に見て記憶に残しやすくしましょう

相加・相乗平均の3次元グラフを描く.描画ソフトはgeogebraを用いる. 相加・相乗平均の不等式 実数 $a , b \geq 0$ に対し,$\displaystyle \frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$ が成り立つ.等号条件は $a=b$ である. $\displaystyle \frac{a+b}{2}$ と $\sqrt…

はてなブログでsvg画像を表示する方法

ブログ内で画像をきれいに表示したいと思ったので,ベクター形式であるsvg画像を貼る方法を調べたのでそのメモです. 基本的にはHTML上でのsvgファイルの表示方法を使うだけです. svgファイルをテキストエディタで開いて <svg> ... </svg> の部分をコピペすれば表示で…

ディラックのデルタ関数 $\delta (x)$ に普通の関数が入力されているときのふるまい

命題 ディラックのデルタ関数 $\delta(x)$ について以下の公式が成り立つ. 公式(a) \begin{equation} \displaystyle \delta \left((x-a)(x-b) \right)=\frac{1}{|a-b|} [\delta (x-a)+\delta(x-b)] ,a \neq b \end{equation} 公式(b) 方程式 f(x) = 0 に対…

ベイカー・キャンベル・ハウスドルフの公式の証明

量子力学でよく用いられるベイカー・キャンベル・ハウスドルフの公式(Baker–Campbell–Hausdorff formula)を示そう. 命題 演算子 $\hat{A},\hat{B}$ に対して次の2つが成り立つ. (a) 実数 $t$ に対して $\hat{B}(t) \equiv \exp(t\hat{A})\hat{B}\exp(-t\ha…

Powerpointでtexの数式をベクター画像(.emf)で挿入できるアドインの紹介(IguanaTex)

動作環境 powerpoint2016 IguanaTeX v1.55 powerpointでTeXの数式をベクター画像で挿入することができるアドインがある. IguanaTexというアドインである. 以下のHPから.ppamをダウンロードできる. IguanaTex - A Free Latex Add-In for PowerPoint on Win…

MathJaxで数式の上から斜線で取り消し線を引く方法(\cancelコマンドの読み込み方)

Latexで数式の上から斜線の取り消し線を引くには\cancelコマンドを用いればよいのだが,MathJaxでは標準では実装されておらず,cancel.jsを前もって読み込む必要がある. 方法 1.ヘッダーの中のMathJaxの設定のブロックにTeX: { extensions: ["cancel.js"] }…

エルミート演算子の不確定性関係の証明

命題 補題 補題1・Schwarzの不等式 補題2・エルミート演算子の期待値は実数である. 補題3・反エルミート演算子の期待値は純虚数である. 命題の証明 例・位置と運動量の不確定性関係 $\require{cancel}$ 命題 エルミート演算子 $\hat{A}$,$\hat{B}$ とそ…

エルミート演算子の固有値は実数であることの証明

命題 (a) エルミート演算子の固有値は実数である. (b) 1つのエルミート演算子の異なる固有値に対応する固有状態は互いに直交する. (a)の証明 あるエルミート演算子 $\hat{A}$ に対して,その固有状態を $|a_i \rangle$ ,固有値を複素数 $a_i $ とする(添…

位置演算子と運動量演算子はエルミート演算子であることの証明

命題 ある関数 $\psi(x)$,$\phi(x)$ が $x$ のすべての領域で定義されており,境界条件 \begin{equation} \lim_{x \to \pm \infty} \psi(x) = 0 \ , \ \ \ \lim_{x \to \pm \infty} \phi(x) = 0 \end{equation} をみたすものとする.このとき,位置演算子 $…

状態ベクトルの三角不等式の証明

問題 二つの状態ベクトル $|A \rangle $,$|B \rangle$ の長さについての三角不等式 $$||A \rangle + |B \rangle | \leq ||A \rangle | + ||B \rangle |$$ を証明せよ. Schwarzの不等式 $$|\langle A|B \rangle| \leq ||A \rangle | \cdot ||B \rangle |$$ …

時間に依存しない,縮退がある時の摂動まとめ

時間に依存しない,縮退がある時の摂動論の問題設定と計算方法をまとめる. 問題 方法 結果(エネルギー固有値の1次の摂動について) 問題 問題は縮退がない場合と同じである.→ http://oviskoutar.hatenablog.com/entry/2017/09/27/124420 非摂動ハミルト…

時間に依存しない,縮退のない摂動まとめ

時間に依存しない,非縮退な摂動論の問題設定と計算方法をまとめる. 問題 方法 結果(1次と2次について) 問題 非摂動ハミルトニアン $\hat{H}_0$ と摂動ポテンシャル $\hat{V}$ と微小パラメータ $\lambda$ によって $$\hat{H}=\hat{H}_0+ \lambda \hat{V}…

1次元イジング模型はマルコフ連鎖確率過程をなす

設定と表記方法 証明 参考文献 設定と表記方法 最近接相互作用のみを持つ1次元イジング模型を考える.この系のハミルトニアンを とする. はスピンの値($\pm 1$)を表す.$J$ は近接間の相互作用の強さ,$H$ は外場の強さを表す.(参考1) という表記は…

位置または運動量演算子とそれら一方に関する関数との交換関係の公式

3次元位置演算子 ${\hat {\bf x}}$ と運動量演算子 ${\hat {\bf p}}$ とそれらに関する関数 $F({\hat {\bf x}})$,$G({\hat {\bf p}})$ について以下の交換関係が成り立つ. $$\begin{eqnarray} [\hat{x}_i ,G({\hat{{\bf p}}})] &=& &i\hbar \frac{\partia…

PowerPointでLaTeXのコマンドを用いて数式の入力をする方法

最近,Office365のアップデートでWordとPowerPointとOneNoteの数式入力ツールにおいてLaTeXのコマンドを使うことができるようになった. 以下のサイトに詳細が書かれている. LaTeX Math in Office – Murray Sargent: Math in Office PowerPointにおいてはLa…

sinc関数を用いたガウス関数(正規分布)の近似

$\displaystyle{\lim_{n \to \infty} {\rm sinc}^{n} \left(\frac{x}{\sqrt{n}} \right) = e^{-\frac{x^2}{6}}}$ の証明 \begin{eqnarray} {\rm sinc}^n \left(\frac{x}{\sqrt{n}} \right) &=& \left(\frac{\sin \frac{x}{\sqrt{n}}}{\frac{x}{\sqrt{n}}} \r…

円上に束縛された粒子の運動量演算子の極座標表示

xy平面上の半径 $R$ の円上に束縛された粒子を考える. このとき粒子の持つ運動量 $p$ は方位角 成分のみを持ち,軌道角運動量の $z$ 成分 $L_z$ は である. よってこの系での運動量演算子 $p$ の極座標表示は となる. 以下に簡単な図を載せる. 軌道角運…

ガンマ行列と4元運動量の内積の2乗は静止質量の二乗になる

の証明 \begin{eqnarray} (\gamma\cdot p)^{2} &=& \gamma^{\mu} p_{\mu} \gamma^{\nu} p_{\nu} \\ &=& \gamma^{\mu} \gamma^{\nu} \frac{1}{2} (p_\mu p_\nu + p_\nu p_\mu) \\ &=& \frac{1}{2} \left\{\gamma^{\mu} \gamma^{\nu} p_\mu p_\nu + (2g^{\mu \…

複素数z=x+iyと外積の性質を用いて二重積分 ∫dxdy を ∫dzdz* と表示する.

多重積分に現れる微小要素 というのは外積として定義する考え方がある. つまり は詳しくは という外積の記号が省略されている. 2変数関数 の積分を複素数 とその複素共役 を用いた関数 の積分に変換するときはその微小要素の変換は以下のようになる.

word2016で数式の右端に数式番号を入力し,相互参照する方法

word2016の数式入力で数式番号を数式の右端に入力する方法をまとめる.表を用いた方法などはすでに紹介しているサイトが他にたくさんあるが,ここでは表を使わず数式ツールとSEQフィールドを用いてキーボード入力だけで数式番号を入力する方法を紹介する.相…

『証明と論理に強くなる』を読んだ

『証明と論理に強くなる』 著:小島寛之 2017年 を読んだ. 高校数学で習う範囲の中で「証明と論理」は他の単元と比べて少し異色な雰囲気を感じる人がいるのではないか.公式を使って計算して値を決定する問題が大半の中,この「証明と論理」の単元では何か…