哲数物を学ぶ

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位置演算子と運動量演算子はエルミート演算子であることの証明

命題

ある関数 $\psi(x)$,$\phi(x)$ が $x$ のすべての領域で定義されており,境界条件 \begin{equation} \lim_{x \to \pm \infty} \psi(x) = 0 \ , \ \ \ \lim_{x \to \pm \infty} \phi(x) = 0 \end{equation} をみたすものとする.このとき,位置演算子 $\hat{x}$ と運動量演算子 $\hat{p}$ はエルミート演算子である.

証明

位置演算子の固有ベクトル $|x \rangle $ をもちいて,位置演算子 $\hat{x}$ と運動量演算子 $\hat{p}$ の固有値方程式は以下のようにしたがうとする. \[ \hat{x}|x \rangle =x|x \rangle \ , \ \ \ \hat{p} |x\rangle =-i \hbar \frac{\partial}{\partial x} |x\rangle \]

状態ベクトル $|\psi \rangle $,$|\phi \rangle$ をもちいて,$\psi(x)=\langle x|\psi \rangle$,$\phi(x)=\langle x|\phi \rangle$ とあらわすとする.

位置演算子 $\hat{x}$ がエルミートであることを示すには,$\langle \psi|\hat{x}|\phi \rangle =\langle \phi|\hat{x}|\psi \rangle ^{*}$ となることを示し,運動量演算子 $\hat{p}$ がエルミートであることを示すには $\langle \psi|\hat{p}|\phi \rangle =\langle \phi|\hat{p}|\psi \rangle ^{*}$ となることを示せばよい.

まずは位置演算子 $\hat{x}$ がエルミートであることを示す.

\begin{eqnarray} \langle \psi|\hat{x}|\phi \rangle &=& \int_{-\infty}^{\infty} dx \int_{-\infty}^{\infty} dx' \langle \psi |x \rangle \underbrace{\langle x|\hat{x}|x' \rangle}_{=x' \langle x|x' \rangle} \langle x'|\phi \rangle \\ &=& \int_{-\infty}^{\infty} dx \ x \langle \psi |x \rangle \langle x|\phi \rangle \\ &=& \int_{-\infty}^{\infty} dx \ x \psi ^{*} (x) \phi(x) \\ &=& \left( \int_{-\infty}^{\infty} dx \ x \phi ^{*} (x) \psi(x) \right)^{*} \\ &=& \langle \phi|\hat{x}|\psi \rangle ^{*} \\ \end{eqnarray}

よって位置演算子 $\hat{x}$ がエルミートであることが示された.

次に運動量演算子 $\hat{p}$ がエルミートであることを示す. \begin{eqnarray} \langle \psi|\hat{p}|\phi \rangle &=& \int_{-\infty}^{\infty} dx \int_{-\infty}^{\infty} dx' \langle \psi |x \rangle \underbrace{\langle x|\hat{p}|x' \rangle}_{=-i \hbar \frac{\partial}{\partial x'} \langle x|x' \rangle} \langle x'|\phi \rangle \\ &=& \int_{-\infty}^{\infty} dx \langle \psi |x \rangle \left(-i \hbar \frac{\partial}{\partial x} \right) \langle x|\phi \rangle \\ &=& \int_{-\infty}^{\infty} dx \ \psi ^{*}(x) \left(-i \hbar \frac{\partial \phi(x)}{\partial x} \right) \hspace{3.7cm} \end{eqnarray} 部分積分をして \begin{eqnarray} \phantom{\langle \psi|\hat{p}|\phi \rangle}&=& \underbrace{\left[\psi ^{*} (x)(-i\hbar \phi(x)) \right]^\infty_{-\infty}}_{(1)より\ =\ \ 0} - \int_{-\infty}^{\infty} dx \frac{\partial \psi^{*}(x)}{\partial x} (-i \hbar \phi(x)) \\ &=& \int_{-\infty}^{\infty} dx \left(i \hbar \frac{\partial \psi^{*}(x)}{\partial x} \right) \phi(x) \\ &=& \left(\int_{-\infty}^{\infty} dx \ \phi^{*}(x) \left(-i \hbar \frac{\partial \psi(x)}{\partial x} \right) \right)^{*} \\ &=& \langle \phi|\hat{p}|\psi \rangle ^{*}
\end{eqnarray}

よって運動量演算子 $\hat{p}$ がエルミートであることが示された.