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の1次元調和振動子問題において，固有値 $ (n+\frac{1}{2})\hbar\omega $ に対する規格化された固有状態を $ |n\rangle $ と表すことにする．
この $ |n\rangle $ に生成演算子 $ \hat{a} ^ \dagger $ を作用させると，固有値が1だけ大きい状態 $ |n+1\rangle $ を求めることができる． $ \hat{a} ^ \dagger|n\rangle $ 自身は規格化されておらず， $ |n+1\rangle $ との比は
\begin{equation}
\hat { a } ^ { \dagger } | n \rangle = \sqrt { n + 1 } | n + 1 \rangle
\end{equation}
となる．
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規格化定数を C と置く．
\begin{equation}
\hat { a } ^ { \dagger } | n \rangle = C | n + 1 \rangle
\end{equation}
両辺のエルミート共役をとったものを内積すると
\begin{align}
\langle n | \hat{ a } \hat{ a } ^\dagger |n \rangle &= |C|^2 \underbrace{\langle n+1 | n+1 \rangle}_{=1} \\
(左辺) &= \langle n | (\underbrace{[\hat{ a } ,\hat{ a } ^\dagger] }_{=1 }+ \underbrace{\hat{ a }^\dagger \hat{ a }}_{=\hat{ N }}) |n \rangle
= (1+n) \langle n | n \rangle
\end{align}
$ \therefore C = \sqrt{1+n} $
同様に
\begin{equation}
\hat { a } | n \rangle = \sqrt { n } | n - 1 \rangle
\end{equation}
である．
よって
\begin{equation}
|n\rangle = \frac { ( \hat { a } ^ { \dagger } ) ^ { n } } { \sqrt { n ! } } |0\rangle
\end{equation}
と表される．
また， $ \hat{a} ^ \dagger , \hat{a} $ の行列要素は
\begin{align}
\langle m | \hat { a } ^ { \dagger } | n \rangle &= \delta _ { m , n + 1 } \sqrt { n + 1 }\\
\langle m | \hat { a } | n \rangle &= \delta _ { m , n - 1 } \sqrt { n }
\end{align}
である．
以上より
\begin{align}
\langle m | \hat { x } | n \rangle & = \sqrt { \frac { \hbar } { 2 m \omega } } \left( \delta _ { m , n - 1 } \sqrt { n } + \delta _ { m , n + 1 } \sqrt { n + 1 } \right) \\
\langle m | \hat { p } | n \rangle & = \frac { 1 } { i } \sqrt { \frac { m \omega \hbar } { 2 } } \left( \delta _ { m , n - 1 } \sqrt { n } - \delta _ { m , n + 1 } \sqrt { n + 1 } \right)
\end{align}
がもとまる．
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\begin{align}
\langle m | \hat { x } | n \rangle & = \sqrt { \frac { \hbar } { 2 m \omega } } \langle m | (\hat { a } + \hat { a } ^ \dagger) | n \rangle
= \sqrt { \frac { \hbar } { 2 m \omega } } (\sqrt { n } \langle m | n - 1 \rangle + \sqrt { n + 1 } \langle m | n + 1 \rangle)
\end{align}
$ | 0 \rangle , | 1 \rangle , | 2 \rangle , \cdots , |n\rangle , \cdots $ を基底にとって， $ \hat { a } ^ \dagger , \hat { a } , \hat { N } , \hat { x } , \hat { p } $ を行列表示すると，
\begin{align}
\langle m | \hat{ a } ^ \dagger |n \rangle &=
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 0&\cdots & \\
1 & 0 & 0 & 0& \cdots & \\
0 & \sqrt{2} & 0 & 0&\cdots & \\
0 & 0 & \sqrt{3} & 0 & \cdots & \\
\vdots& \vdots & \vdots & \ddots & \ddots &
\end{pmatrix}
\quad, \quad
\langle m | \hat{ a } |n \rangle =
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & 0&\cdots & \\
0 & 0 & \sqrt{2} & 0& \cdots & \\
0 & 0 & 0 & \sqrt{3}&\cdots & \\
0 & 0 & 0 & 0 & \ddots & \\
\vdots& \vdots & \vdots & \vdots & \ddots &
\end{pmatrix} \\
\langle m | \hat{ N } |n \rangle &= n \delta_{ m , n } =
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 & \cdots \\
0 & 1 & 0 & 0 & \cdots \\
0 & 0 & 2 & 0 & \cdots \\
0 & 0 & 0 & 3 & \cdots \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots
\end{pmatrix} \\
\langle m | \hat{ x } |n \rangle &= \sqrt { \frac { \hbar } { 2 m \omega } }
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & 0&\cdots & \\
1 & 0 & \sqrt{2} & 0& \cdots & \\
0 & \sqrt{2} & 0 & \sqrt{3}&\cdots & \\
0 & 0 & \sqrt{3} & 0 & \cdots & \\
\vdots& \vdots & \vdots & \ddots & \ddots &
\end{pmatrix}
\quad, \quad
\langle m | \hat{ p } |n \rangle = i\sqrt { \frac { m \omega \hbar } { 2 } }
\begin{pmatrix}
0 & -1 & 0 & 0&\cdots & \\
1 & 0 & -\sqrt{2} & 0& \cdots & \\
0 & \sqrt{2} & 0 & -\sqrt{3}&\cdots & \\
0 & 0 & \sqrt{3} & 0 & \ddots & \\
\vdots& \vdots & \vdots & \vdots & \ddots &
\end{pmatrix}
\end{align}
となる．
$ |n\rangle $ を位置表示した波動関数 $ \langle x | n \rangle $ がエルミート多項式を用いた表示と同値になる．前記事で求めた $ \langle x | 0 \rangle $ を元にして，実際に $ \langle x | 1 \rangle , \langle x | 2 \rangle , \langle x | 3 \rangle $ を求めると
\begin{align}
\langle x | 1 \rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \frac { m\omega } { \hbar \pi } \right) ^ { 1 / 4 } H_1(\xi)\exp \left [-\frac{\xi^2}{2}\right ]\\
\langle x | 2 \rangle &= \frac{1}{\sqrt{2^22!}} \left( \frac { m\omega } { \hbar \pi } \right) ^ { 1 / 4 } H_2(\xi)\exp \left [-\frac{\xi^2}{2}\right ] \\
\langle x | 3 \rangle &= \frac{1}{\sqrt{2^33!}} \left( \frac { m\omega } { \hbar \pi } \right) ^ { 1 / 4 } H_3(\xi)\exp \left [-\frac{\xi^2}{2}\right ]
\end{align}
となる． $ \xi = \sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}x $ ．
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\begin{align}
\langle x | n \rangle &= \langle x | \frac { \left( \hat { a } ^ { \dagger } \right) ^ { n } } { \sqrt { n ! } }|0 \rangle
= \frac{1}{\sqrt{n!}} \left( \frac { m \omega } { 2 \hbar } \right) ^ { \frac { n } { 2 } } \langle x | (\hat{x}-\frac{i}{m\omega}\hat{p})^n |0\rangle
= \frac{1}{\sqrt{2^nn!}} \left( \frac { m \omega } { \hbar } \right) ^ { \frac { n } { 2 } } \left (x-\frac{\hbar}{m\omega}\frac{d}{dx}\right )^n\langle x |0\rangle \\
&= \frac{1}{\sqrt{2^nn!}} \left (\sqrt{\frac { m \omega } { \hbar }}x-\sqrt{\frac { \hbar }{ m \omega }}\frac{d}{dx}\right )^n\langle x |0\rangle
= \frac{1}{\sqrt{2^nn!}} \left (\xi-\frac{d}{d\xi}\right )^n\langle x |0\rangle\\
\langle x | 1 \rangle &=
\frac{1}{\sqrt{2}} \left (\xi-\frac{d}{d\xi}\right )\langle x |0\rangle
= \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \frac { m \omega } { \hbar\pi } \right)^\frac{1}{4} \left (\xi-\frac{d}{d\xi}\right ) \exp \left[ -\frac{\xi^2}{2} \right]
= \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \frac { m \omega } { \hbar\pi } \right)^\frac{1}{4} \underbrace{(\xi+\xi)}_{=H_1(\xi)} \exp \left[ -\frac{\xi^2}{2} \right] \\
\langle x | 2 \rangle &= \langle x | \frac { \hat { a } ^ { \dagger } } { \sqrt { 2} }|1 \rangle
= \frac{1}{\sqrt{2}}\frac{1}{\sqrt{2}} \left (\xi-\frac{d}{d\xi}\right )\langle x |1\rangle
= \frac{1}{\sqrt{2^2}}\frac{1}{\sqrt{2}} \left( \frac { m \omega } { \hbar\pi } \right)^\frac{1}{4} \left (\xi-\frac{d}{d\xi}\right ) H_1(\xi) \exp \left[ -\frac{\xi^2}{2} \right] \\
&= \frac{1}{\sqrt{2^2 2}} \left( \frac { m \omega } { \hbar\pi } \right)^\frac{1}{4} \underbrace{(\xi H_1(\xi)-H_1'(\xi) + \xi H_1(\xi) )}_{=H_2(\xi)} \exp \left[ -\frac{\xi^2}{2} \right] \\
&\because エルミート多項式の公式 H_{n+1}(\xi) = 2\xi H_n(\xi) -H'_n (\xi)\\
\langle x | 3 \rangle &= \langle x | \frac { \hat { a } ^ { \dagger } } { \sqrt { 3} }|2 \rangle
= \frac{1}{\sqrt{3}} \frac{1}{\sqrt{2}} \left (\xi-\frac{d}{d\xi}\right )\langle x |2\rangle
= \frac{1}{\sqrt{3\cdot 2}}\frac{1}{\sqrt{2^22}} \left( \frac { m\omega } { \hbar \pi } \right) ^ { 1 / 4 } \left (\xi-\frac{d}{d\xi}\right ) H_2(\xi)\exp \left [-\frac{\xi^2}{2}\right ] \\
&= \frac{1}{\sqrt{2^3 3!}} \left( \frac { m\omega } { \hbar \pi } \right) ^ { 1 / 4 } \underbrace{(\xi H_2(\xi) -H'_2(\xi) + \xi H_2(\xi))}_{=H_3(\xi)} \exp \left [-\frac{\xi^2}{2}\right ]
\end{align}
エルミート多項式の公式については以下の記事で紹介している．
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