三浦ノート

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1次元調和振動子の生成消滅演算子による表示での位置演算子と運動量演算子の行列要素とエルミート多項式による表示との比較

前記事

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の1次元調和振動子問題において,固有値 $ (n+\frac{1}{2})\hbar\omega $ に対する規格化された固有状態を $ |n\rangle $ と表すことにする.

この $ |n\rangle $ に生成演算子 $ \hat{a} ^ \dagger $ を作用させると,固有値が1だけ大きい状態 $ |n+1\rangle $ を求めることができる. $ \hat{a} ^ \dagger|n\rangle $ 自身は規格化されておらず, $ |n+1\rangle $ との比は

\begin{equation} \hat { a } ^ { \dagger } | n \rangle = \sqrt { n + 1 } | n + 1 \rangle \end{equation}

となる. ▶クリックで途中計算を開く

同様に

\begin{equation} \hat { a } | n \rangle = \sqrt { n } | n - 1 \rangle \end{equation}

である.

よって

\begin{equation} |n\rangle = \frac { ( \hat { a } ^ { \dagger } ) ^ { n } } { \sqrt { n ! } } |0\rangle \end{equation}

と表される.

また, $ \hat{a} ^ \dagger , \hat{a} $ の行列要素は

\begin{align} \langle m | \hat { a } ^ { \dagger } | n \rangle &= \delta _ { m , n + 1 } \sqrt { n + 1 }\\ \langle m | \hat { a } | n \rangle &= \delta _ { m , n - 1 } \sqrt { n } \end{align}

である.

以上より

\begin{align} \langle m | \hat { x } | n \rangle & = \sqrt { \frac { \hbar } { 2 m \omega } } \left( \delta _ { m , n - 1 } \sqrt { n } + \delta _ { m , n + 1 } \sqrt { n + 1 } \right) \\ \langle m | \hat { p } | n \rangle & = \frac { 1 } { i } \sqrt { \frac { m \omega \hbar } { 2 } } \left( \delta _ { m , n - 1 } \sqrt { n } - \delta _ { m , n + 1 } \sqrt { n + 1 } \right) \end{align}

がもとまる. ▶クリックで途中計算を開く

$ | 0 \rangle , | 1 \rangle , | 2 \rangle , \cdots , |n\rangle , \cdots $ を基底にとって, $ \hat { a } ^ \dagger , \hat { a } , \hat { N } , \hat { x } , \hat { p } $ を行列表示すると,

\begin{align} \langle m | \hat{ a } ^ \dagger |n \rangle &= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0&\cdots & \\ 1 & 0 & 0 & 0& \cdots & \\ 0 & \sqrt{2} & 0 & 0&\cdots & \\ 0 & 0 & \sqrt{3} & 0 & \cdots & \\ \vdots& \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \end{pmatrix} \quad, \quad \langle m | \hat{ a } |n \rangle = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0&\cdots & \\ 0 & 0 & \sqrt{2} & 0& \cdots & \\ 0 & 0 & 0 & \sqrt{3}&\cdots & \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \ddots & \\ \vdots& \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \end{pmatrix} \\ \langle m | \hat{ N } |n \rangle &= n \delta_{ m , n } = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \cdots \\ 0 & 0 & 2 & 0 & \cdots \\ 0 & 0 & 0 & 3 & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{pmatrix} \\ \langle m | \hat{ x } |n \rangle &= \sqrt { \frac { \hbar } { 2 m \omega } } \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0&\cdots & \\ 1 & 0 & \sqrt{2} & 0& \cdots & \\ 0 & \sqrt{2} & 0 & \sqrt{3}&\cdots & \\ 0 & 0 & \sqrt{3} & 0 & \cdots & \\ \vdots& \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \end{pmatrix} \quad, \quad \langle m | \hat{ p } |n \rangle = i\sqrt { \frac { m \omega \hbar } { 2 } } \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 & 0&\cdots & \\ 1 & 0 & -\sqrt{2} & 0& \cdots & \\ 0 & \sqrt{2} & 0 & -\sqrt{3}&\cdots & \\ 0 & 0 & \sqrt{3} & 0 & \ddots & \\ \vdots& \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \end{pmatrix} \end{align}

となる.

$ |n\rangle $ を位置表示した波動関数 $ \langle x | n \rangle $ がエルミート多項式を用いた表示と同値になる.前記事で求めた $ \langle x | 0 \rangle $ を元にして,実際に $ \langle x | 1 \rangle , \langle x | 2 \rangle , \langle x | 3 \rangle $ を求めると

\begin{align} \langle x | 1 \rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \frac { m\omega } { \hbar \pi } \right) ^ { 1 / 4 } H_1(\xi)\exp \left [-\frac{\xi^2}{2}\right ]\\ \langle x | 2 \rangle &= \frac{1}{\sqrt{2^22!}} \left( \frac { m\omega } { \hbar \pi } \right) ^ { 1 / 4 } H_2(\xi)\exp \left [-\frac{\xi^2}{2}\right ] \\ \langle x | 3 \rangle &= \frac{1}{\sqrt{2^33!}} \left( \frac { m\omega } { \hbar \pi } \right) ^ { 1 / 4 } H_3(\xi)\exp \left [-\frac{\xi^2}{2}\right ] \end{align}

となる. $ \xi = \sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}x $ . ▶クリックで途中計算を開く