三浦と窮理とブログ

主に物理学・数学について自分が勉強してきたことについて書いていきます.誰かの役に立ってくれれば嬉しいです.

1次元調和振動子の生成消滅演算子による表示での位置演算子と運動量演算子の行列要素とエルミート多項式による表示との比較

前記事

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の1次元調和振動子問題において,固有値 $ (n+\frac{1}{2})\hbar\omega $ に対する規格化された固有状態を $ |n\rangle $ と表すことにする.

この $ |n\rangle $ に生成演算子 $ \hat{a} ^ \dagger $ を作用させると,固有値が1だけ大きい状態 $ |n+1\rangle $ を求めることができる. $ \hat{a} ^ \dagger|n\rangle $ 自身は規格化されておらず, $ |n+1\rangle $ との比は

\begin{equation} \hat { a } ^ { \dagger } | n \rangle = \sqrt { n + 1 } | n + 1 \rangle \end{equation}

となる. ▶クリックで途中計算を開く

同様に

\begin{equation} \hat { a } | n \rangle = \sqrt { n } | n - 1 \rangle \end{equation}

である.

よって

\begin{equation} |n\rangle = \frac { ( \hat { a } ^ { \dagger } ) ^ { n } } { \sqrt { n ! } } |0\rangle \end{equation}

と表される.

また, $ \hat{a} ^ \dagger , \hat{a} $ の行列要素は

\begin{align} \langle m | \hat { a } ^ { \dagger } | n \rangle &= \delta _ { m , n + 1 } \sqrt { n + 1 }\\ \langle m | \hat { a } | n \rangle &= \delta _ { m , n - 1 } \sqrt { n } \end{align}

である.

以上より

\begin{align} \langle m | \hat { x } | n \rangle & = \sqrt { \frac { \hbar } { 2 m \omega } } \left( \delta _ { m , n - 1 } \sqrt { n } + \delta _ { m , n + 1 } \sqrt { n + 1 } \right) \\ \langle m | \hat { p } | n \rangle & = \frac { 1 } { i } \sqrt { \frac { m \omega \hbar } { 2 } } \left( \delta _ { m , n - 1 } \sqrt { n } - \delta _ { m , n + 1 } \sqrt { n + 1 } \right) \end{align}

がもとまる. ▶クリックで途中計算を開く

$ | 0 \rangle , | 1 \rangle , | 2 \rangle , \cdots , |n\rangle , \cdots $ を基底にとって, $ \hat { a } ^ \dagger , \hat { a } , \hat { N } , \hat { x } , \hat { p } $ を行列表示すると,

\begin{align} \langle m | \hat{ a } ^ \dagger |n \rangle &= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0&\cdots & \\ 1 & 0 & 0 & 0& \cdots & \\ 0 & \sqrt{2} & 0 & 0&\cdots & \\ 0 & 0 & \sqrt{3} & 0 & \cdots & \\ \vdots& \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \end{pmatrix} \quad, \quad \langle m | \hat{ a } |n \rangle = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0&\cdots & \\ 0 & 0 & \sqrt{2} & 0& \cdots & \\ 0 & 0 & 0 & \sqrt{3}&\cdots & \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \ddots & \\ \vdots& \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \end{pmatrix} \\ \langle m | \hat{ N } |n \rangle &= n \delta_{ m , n } = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \cdots \\ 0 & 0 & 2 & 0 & \cdots \\ 0 & 0 & 0 & 3 & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{pmatrix} \\ \langle m | \hat{ x } |n \rangle &= \sqrt { \frac { \hbar } { 2 m \omega } } \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0&\cdots & \\ 1 & 0 & \sqrt{2} & 0& \cdots & \\ 0 & \sqrt{2} & 0 & \sqrt{3}&\cdots & \\ 0 & 0 & \sqrt{3} & 0 & \cdots & \\ \vdots& \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \end{pmatrix} \quad, \quad \langle m | \hat{ p } |n \rangle = i\sqrt { \frac { m \omega \hbar } { 2 } } \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 & 0&\cdots & \\ 1 & 0 & -\sqrt{2} & 0& \cdots & \\ 0 & \sqrt{2} & 0 & -\sqrt{3}&\cdots & \\ 0 & 0 & \sqrt{3} & 0 & \ddots & \\ \vdots& \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \end{pmatrix} \end{align}

となる.

$ |n\rangle $ を位置表示した波動関数 $ \langle x | n \rangle $ がエルミート多項式を用いた表示と同値になる.前記事で求めた $ \langle x | 0 \rangle $ を元にして,実際に $ \langle x | 1 \rangle , \langle x | 2 \rangle , \langle x | 3 \rangle $ を求めると

\begin{align} \langle x | 1 \rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \frac { m\omega } { \hbar \pi } \right) ^ { 1 / 4 } H_1(\xi)\exp \left [-\frac{\xi^2}{2}\right ]\\ \langle x | 2 \rangle &= \frac{1}{\sqrt{2^22!}} \left( \frac { m\omega } { \hbar \pi } \right) ^ { 1 / 4 } H_2(\xi)\exp \left [-\frac{\xi^2}{2}\right ] \\ \langle x | 3 \rangle &= \frac{1}{\sqrt{2^33!}} \left( \frac { m\omega } { \hbar \pi } \right) ^ { 1 / 4 } H_3(\xi)\exp \left [-\frac{\xi^2}{2}\right ] \end{align}

となる. $ \xi = \sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}x $ . ▶クリックで途中計算を開く