1次元イジング模型はマルコフ連鎖確率過程をなす

設定と表記方法
証明
参考文献

設定と表記方法

最近接相互作用のみを持つ１次元イジング模型を考える．この系のハミルトニアンを

\begin{equation} H(\sigma_1 , \sigma_2 , \cdots , \sigma_N)=-J\sum^N_{i=1}\sigma_{i} \sigma_{i+1}-H\sum_{i=1}^N \sigma_{i} \end{equation}

とする．σ_i は i 番目のスピンの値（± 1）を表す．J は近接間の相互作用の強さ，H は外場の強さを表す．（参考１）

このハミルトニアンをもちいてカノニカル確率分布は

\begin{equation} p(\sigma_1 , \sigma_2 , \cdots , \sigma_N)=\frac{1}{Z} \exp \left(K\sum^N_{i=1} \sigma_{i} \sigma_{i+1}+h\sum^N_{i=1} \sigma_{i} \right) \end{equation}

と与えられる．（これはスピン列のパターンが { σ₁ , σ₂ , … σ_N }となる確率を表す．）ただし，K = βJ , h = βH とし，Z は分配関数

\begin{equation} Z= \sum_{\substack{\sigma_1 =\pm 1\\ \sigma_2 =\pm 1\\ \vdots \\ \sigma_N =\pm 1}} \exp \left(K\sum_{i=1} \sigma_{i} \sigma_{i+1}+h\sum_{i=1} \sigma_{i} \right) = \prod^N_{i=1}\sum_{\sigma_i =\pm 1} \exp \left(K\sum^N_{i=1} \sigma_{i} \sigma_{i+1}+h\sum^N_{i=1} \sigma_{i} \right) \end{equation}

である．（最初の Σ 記号は全てのスピン列のパターン（2^粒子数通り）について和をとっている．）

分配関数は厳密に計算ができるがここでは省略する．（参考２）

また，この先で転送行列の考えを用いるので知らない方は他のサイトや統計力学の本に一度目を通していただきたい．（参考２,3,5）

ここでは以下のように転送行列 T を定義する

\begin{equation} (T)_{\sigma_i \sigma_{i+1}}=\exp \left(K\sigma_{i} \sigma_{i+1}+\frac{h}{2} (\sigma_{i} +\sigma_{i+1}) \right) \end{equation}

\begin{equation} T=\left( \begin{array}{cc} (T)_{+1,+1} & (T)_{+1,-1} \\ (T)_{-1,+1} & (T)_{-1,-1} \end{array} \right) =\left( \begin{array}{cc} e^{K+h} & e^{-K} \\ e^{-K}& e^{K-h} \end{array} \right) \end{equation}

この転送行列 T を用いるとカノニカル確率分布は

\begin{equation} p(\sigma_1 , \sigma_2 , \cdots , \sigma_N)=\frac{1}{Z} \prod^N_{i=1} (T)_{\sigma_i \sigma_{i+1}} \end{equation}

と表される．

i 番目のスピンの値が σ_i である確率 p(σ_i) は i 番目のスピンの値が σ_i である全てのパターンの確率を足したものである．よって

\begin{align} p(\sigma_i) &=\prod_{\substack{j=1 \\ j\ne i}}^N \sum_{\sigma_j=\pm 1} p(\sigma_1 , \sigma_2 , \cdots , \sigma_N ) =\frac{1}{Z} \prod_{\substack{j=1 \\ j\ne i}}^N \sum_{\sigma_j=\pm 1} \prod_{k=1}^N (T)_{\sigma_k \sigma_{k+1}} \\ &=\frac{1}{Z} \left \{ \sum_{\sigma_1 =\pm 1 } (T^{i-1})_{\sigma_1 \sigma_i} \right \} \prod_{j=i+1}^N \sum_{\sigma_j=\pm 1} \prod_{k=i}^N (T)_{\sigma_k \sigma_{k+1}} \end{align}

と表せる．

証明

命題

この系の配置を左から右に向けての離散的な時間発展記録としてみれば，マルコフ連鎖確率過程となる．

この命題を示す．添え字 i が離散的な時間として，時間 i におけるスピンの値を σ_i (= ±1) として考えればよい．総和と総乗の記号がややこしいかもしれないが一度紙に書き下したりすれば式の構造が理解しやすくなると思う．

マルコフ連鎖の定義に沿って

\begin{equation} P(\sigma_{i+1} |\sigma_1,\sigma_2,\ldots,\sigma_{i})=P(\sigma_{i+1} |\sigma_i) \end{equation}

となることを示そう．（参考4）

この式の左辺は１番目から i 番目のスピンの値が { σ₁ , σ₂ , … , σ_i } であるという条件があるときに i+1 番目のスピンの値が σ_i+1 となる確率である．

\begin{align} \displaystyle &P(\sigma_{i+1} |\sigma_1,\sigma_2,\cdots,\sigma_{i}) = \frac{P(\sigma_1,\sigma_2,\cdots,\sigma_{i},\sigma_{i+1})}{P(\sigma_1,\sigma_2,\cdots,\sigma_{i})} = \frac{\displaystyle \prod_{j=i+2}^N \sum_{\sigma_j =\pm 1} p(\sigma_1,\sigma_2,\cdots,\sigma_N)}{\displaystyle \prod_{j=i+1}^N \sum_{\sigma_j =\pm 1} p(\sigma_1,\sigma_2,\cdots ,\sigma_N)} \\ &=\frac{\displaystyle \left \{\prod_{k=1}^{i-1} (T)_{\sigma_k \sigma_{k+1}} \right \}(T)_{\sigma_i \sigma_{i+1}} \prod_{j=i+2}^N \sum_{\sigma_j =\pm 1} \prod^N_{k=i+1} (T)_{\sigma_k \sigma_{k+1}}} {\displaystyle \left \{\prod_{k=1}^{i-1} (T)_{\sigma_k \sigma_{k+1}} \right \}\prod_{j=i+1}^N \sum_{\sigma_j =\pm 1} \prod^N_{k=i} (T)_{\sigma_k \sigma_{k+1}}} \\ &=\frac{\displaystyle (T)_{\sigma_i \sigma_{i+1}} \prod_{j=i+2}^N \sum_{\sigma_j =\pm 1} \prod^N_{k=i+1} (T)_{\sigma_k \sigma_{k+1}}} {\displaystyle \prod_{j=i+1}^N \sum_{\sigma_j =\pm 1} \prod^N_{k=i} (T)_{\sigma_k \sigma_{k+1}}} \end{align}

右辺も同様に

\begin{align} &P(\sigma_{i+1}|\sigma_{i}) =\frac{P(\sigma_{i},\sigma_{i+1})}{P(\sigma_{i})} = \frac{\displaystyle \prod_{\substack{j=1 \\ j\ne i,i+1}}^N \sum_{\sigma_j =\pm 1} p(\sigma_1,\sigma_2,\cdots,\sigma_N)}{\displaystyle \prod_{\substack{j=1\\ j\ne i }}^N \sum_{\sigma_j =\pm 1} p(\sigma_1,\sigma_2,\cdots ,\sigma_N)} \\ &=\frac{\displaystyle \left \{\sum_{\sigma_1 =\pm 1 } (T^{i-1})_{\sigma_1 \sigma_i}\right \} (T)_{\sigma_i \sigma_{i+1}} \prod_{j=i+2}^N \sum_{\sigma_j=\pm 1} \prod_{k=i+1}^N (T)_{\sigma_k \sigma_{k+1}}} {\displaystyle \left \{ \sum_{\sigma_1 =\pm 1 } (T^{i-1})_{\sigma_1 \sigma_i} \right \} \prod_{j=i+1}^N \sum_{\sigma_j=\pm 1} \prod_{k=i}^N (T)_{\sigma_k \sigma_{k+1}}} \\ &=\frac{\displaystyle (T)_{\sigma_i \sigma_{i+1}} \prod_{j=i+2}^N \sum_{\sigma_j=\pm 1} \prod_{k=i+1}^N (T)_{\sigma_k \sigma_{k+1}}} {\displaystyle \prod_{j=i+1}^N \sum_{\sigma_j=\pm 1} \prod_{k=i}^N (T)_{\sigma_k \sigma_{k+1}}}\\ &=P(\sigma_{i+1} |\sigma_1,\sigma_2,\ldots,\sigma_{i}) \end{align}

である．よって命題が示された．

このことはつまり，未来のスピンの値は現在のスピンの値のみに依存するということを指している．