運動量演算子 $-i\hbar \frac{d}{dx}$ の性質を述べる．
目次
固有値方程式と固有関数
k を任意の定数として，微分方程式 \begin{equation} -i\hbar \frac{d \psi(x)}{dx} = \hbar k \psi (x) \end{equation} の解は \begin{equation} \psi(x) = A e^{ikx} \quad (A は任意定数) \label{eq:sol} \end{equation} である．この方程式は k が複素数であっても解を持つ．ここで実数 k1 , k2 を用いて k = k1 + i k2 と表すと式 (\ref{eq:sol}) は， \begin{equation} \psi(x) = A e^{ikx} = A e^{i(k_1+ik_2)x}= A e^{ik_1x-k_2x} \end{equation} となる．この波動関数の確率密度は， \begin{equation} |\psi|^2=\psi^{*} \psi=|A|^2 e^{-2k_2x} \end{equation} である．このままだとこの確率密度は $x\to-\infty$ で発散する．これは物理的に意味がない．つまり $|\psi|^2<\infty ~(\forall x \in \mathbb{R} )$ という拘束条件のもと，k2 = 0 が要請される．つまり k = k1 となり，k は実数となる．
離散固有値
x の変域を -L/2 から L/2 （L は任意の大きな数）までの有限な区間に限定したうえで，周期境界条件 ψ(L/2) = ψ(-L/2) を課すことで連続固有値を避けることができる．すなわち， \begin{align} \psi(L/2) =\psi(-L/2) \quad &\Leftrightarrow \quad Ae^{ikL/2} = A e^{-ikL/2} \quad \Leftrightarrow \quad 2iA \frac{e^{ikL/2}- e^{-ikL/2}}{2i} = 0 \\ &\Leftrightarrow \quad 2iA\sin \frac{kL}{2} =0 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{kL}{2} = n \pi \quad (n は整数) \end{align} である．n = i のときの k を ki と表すとすると，上の最後の式より $k_n = \frac{2\pi}{L} n$ となる．
規格化条件より， \begin{equation} 1 = \int^\infty_{-\infty} |\psi|^2 dx = |A|^2 \int^{L/2}_{-L/2} dx = |A|^2 L \quad \Leftrightarrow \quad A = \frac{1}{\sqrt{L}} \end{equation} である．よって固有値が kn の規格化された固有関数は \begin{equation} \psi_n(x) = \frac{1}{\sqrt{L}} \exp\left(i\frac{2\pi n}{L} x \right) \end{equation} である．
直交性
異なる固有値に対応する固有関数は直交している．
実際に ψi と ψj (i ≠ j) の内積をとってみると， \begin{align} \langle \psi_i | \psi_j \rangle &= \int^\infty_{-\infty} \psi_i ^{*} \psi_j dx = \frac{1}{L} \int^{L/2}_{-L/2} \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \underbrace{\exp\left(i \frac{2\pi}{L} (j-i) x \right) }_{= \cos \left(\frac{2\pi}{L} (j-i) x \right)+\! \! \! \! \! \! \!\underbrace{i\sin \left(\frac{2\pi}{L} (j-i) x \right)}_{x について奇関数なので積分すると0}} \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! dx \\ &= \frac{1}{L} \frac{L}{2\pi(j-i)}\left[\sin\left(\frac{2\pi}{L} (j-i) x \right) \right]^{L/2}_{-L/2} = \frac{1}{2\pi (j-i)} 2 \underbrace{\sin (\pi (j-i))}_{=\sin (\pi \times 整数) =0} =0 \end{align} であり，内積が 0 なので直交している．
完全性
このとき得られる ψi(x) は完全形になっており，任意の周期関数 f(x) を \begin{equation} f(x) = \sum_{i\in \mathbb{Z}} a_i \psi_i (x) \label{eq:comp} \end{equation} と展開できる．展開係数 ai を求めよう．
ψi(x) は規格化されていて直交性も持つので，$\langle \psi_i | \psi_j \rangle = \delta_{ij} \quad(\delta_{ij} はクロネッカーの記号）$ である．
式(\ref{eq:comp}) の両辺をそれぞれ ψj と内積をとると， \begin{equation} \langle \psi_j | f\rangle = \sum_{i\in \mathbb{Z}} a_i \underbrace{\langle \psi_j | \psi_i \rangle}_{=\delta_{ji} } = a_j \end{equation} である．よって， \begin{equation} a_i = \langle \psi_i | f\rangle = \frac{1}{\sqrt{L}} \int^{L/2}_{-L/2} \exp\left(-i\frac{2\pi i}{L} x \right) f(x) dx \end{equation} として求められる．
