目次 問題 (a)の解答 (b)の解答 (c)の解答 問題 ポテンシャル V(r , t) 中の粒子の状態を記述するシュレーディンガー方程式を \[i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \psi (\boldsymbol{r},t) = \left(-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V(\boldsymbol{r},t) \rig…

問題 水素原子が半径 $r_0$ の球と考える．電子の位置の不確定さが $r_0$ 程度で，$r_0$ と運動量の不確かさ $p_0$ の積 $r_0 p_0$ が最小になる基底状態を考えると、不確定性原理より運動量の不確定さは $\hbar / r_0$ 程度ということになる．電子の持つエ…

問題 1000ボルトで加速した電子の位置 x と運動量 p を，同時に測定することを考える．位置の精度を 10-10 m で測定できたならば，運動量成分は何パーセント程度の測定となるか． 解答 電子の持つエネルギーは eV [J] である．（e：電荷素量．V = 1000） ポ…

問題 ガウス波束の不確定性（位置と運動量のゆらぎの積）の計算 - 哲数物を学ぶ 上の記事の問題の設定において，運動量の確率密度を求め，図示せよ．位置と運動量の確率密度の幅から，不確定性関係を考察せよ． 解答 運動量固有状態の位置表示波動関数 \begi…

目次 問題 (a) の解答 (b) の解答 (c) の解答 問題 1次元の自由な空間で，つぎの波動関数(波束)が定義されているとする． \[\psi (x) = A \exp [- \frac{x^2}{2\sigma^2} + ikx ] \] (a) この波動関数における位置の確率密度を求め，全空間で積分した結果が …

命題 ディラックのデルタ関数 $\delta(x)$ について以下の公式が成り立つ． 公式(a) \begin{equation} \displaystyle \delta \left((x-a)(x-b) \right)=\frac{1}{|a-b|} [\delta (x-a)+\delta(x-b)] ，a \neq b \end{equation} 公式(b) 方程式 f(x) = 0 に対…

量子力学でよく用いられるベイカー・キャンベル・ハウスドルフの公式(Baker–Campbell–Hausdorff formula)を示そう． 命題 演算子 $\hat{A},\hat{B}$ に対して次の2つが成り立つ． (a) 実数 $t$ に対して $\hat{B}(t) \equiv \exp(t\hat{A})\hat{B}\exp(-t\ha…

命題 補題 補題1・Schwarzの不等式 補題２・エルミート演算子の期待値は実数である． 補題３・反エルミート演算子の期待値は純虚数である． 命題の証明 例・位置と運動量の不確定性関係 $\require{cancel}$ 命題 エルミート演算子 $\hat{A}$，$\hat{B}$ とそ…

命題 (a) エルミート演算子の固有値は実数である． (b) １つのエルミート演算子の異なる固有値に対応する固有状態は互いに直交する． (a)の証明 あるエルミート演算子 $\hat{A}$ に対して，その固有状態を $|a_i \rangle$ ，固有値を複素数 $a_i $ とする(添…

命題 ある関数 $\psi(x)$，$\phi(x)$ が実数 $x$ のすべての領域で定義されており，境界条件 \begin{equation} \lim_{x \to \pm \infty} \psi(x) = 0 \ , \ \ \ \lim_{x \to \pm \infty} \phi(x) = 0 \end{equation} をみたすものとする．このとき，位置演算…

問題 二つの状態ベクトル $|A \rangle $，$|B \rangle$ の長さについての三角不等式 $$||A \rangle + |B \rangle | \leq ||A \rangle | + ||B \rangle |$$ を証明せよ． Schwarzの不等式 $$|\langle A|B \rangle| \leq ||A \rangle | \cdot ||B \rangle |$$ …

時間に依存しない，縮退がある時の摂動論の問題設定と計算方法をまとめる． 問題 方法 結果（エネルギー固有値の１次の摂動について） 問題 問題は縮退がない場合と同じである．→ http://oviskoutar.hatenablog.com/entry/2017/09/27/124420 非摂動ハミルト…

時間に依存しない，非縮退な摂動論の問題設定と計算方法をまとめる． 問題 方法 結果（1次と2次について） 問題 非摂動ハミルトニアン $\hat{H}_0$ と摂動ポテンシャル $\hat{V}$ と微小パラメータ $\lambda$ によって $$\hat{H}=\hat{H}_0+ \lambda \hat{V}…

３次元位置演算子 ${\hat {\bf x}}$ と運動量演算子 ${\hat {\bf p}}$ とそれらに関する関数 $F({\hat {\bf x}})$，$G({\hat {\bf p}})$ について以下の交換関係が成り立つ． $$\begin{eqnarray} [\hat{x}_i ,G({\hat{{\bf p}}})] &=& &i\hbar \frac{\partia…

xy平面上の半径 $R$ の円上に束縛された粒子を考える． このとき粒子の持つ運動量 $p$ は方位角 成分のみを持ち，軌道角運動量の $z$ 成分 $L_z$ は である． よってこの系での運動量演算子 $p$ の極座標表示は となる． 以下に簡単な図を載せる． 軌道角運…